一、容斥原理1：兩個集合的容斥原理
如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，先把A、B兩個集合的元素個數(shù)相加，發(fā)現(xiàn)既是A類又是B類的部分重復計算了一次，所以要減去。如下圖所示。
【示例1】 一次期末考試，某班有15人數(shù)學得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？
數(shù)學得滿分人數(shù)→A，語文得滿分人數(shù)→B，數(shù)學、語文都是滿分人數(shù)→A∩B，至少有一門得滿分人數(shù)→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一門得滿分。
二、容斥原理2：三個集合的容斥原理
如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，將A、B、C三個集合的元素個數(shù)相加后發(fā)現(xiàn)兩兩重疊的部分重復計算了1次，三個集合公共部分被重復計算了2次。
如下圖所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重復計算了1次，黑色部分A∩B∩C被重復計算了2次，因此總數(shù)A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：
【示例2】 某班有學生45人，每人都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？
參加足球隊→A，參加排球隊→B，參加游泳隊→C，足球、排球都參加的→A∩B，足球、游泳都參加的→C∩A，排球、游泳都參加的→B∩C，三項都參加的→A∩B∩C。三項都參加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
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