2012中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)知識(shí)歸納 48

     
    【課標(biāo)要求】
    

考點(diǎn)	課標(biāo)要求	知識(shí)與技能目標(biāo)
		了解	理解	掌握	靈活應(yīng)用
二次函數(shù)	理解二次函數(shù)的意義		∨
	會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的圖像			∨
	會(huì)確定拋物線開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸			∨
	通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析確定二次函數(shù)表達(dá)式		∨	∨
	理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系		∨
	會(huì)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)的圖像來(lái)確定a、b、c的符號(hào)			∨	∨

    【知識(shí)梳理】
    1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).
    2.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.
    3.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).
    ①的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；
    相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.
    ②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
    4.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.
    5.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法
    （1）公式法：，∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.
     （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線.
     （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.
    6.拋物線中，的作用
    （1）決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣.
    （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè).
    （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.
     當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：①，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.
     以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 .
    7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
    （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.
    （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.
    12.直線與拋物線的交點(diǎn)
    （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ).
    （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).
    （3）拋物線與軸的交點(diǎn)
    二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：
          ①有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交；
          ②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切；
          ③沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離.
    （4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)
    同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
    （5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); ②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn).
    （6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故
    
     
    【能力訓(xùn)練】
    1．二次函數(shù)y=－x²＋6x－5，當(dāng)           時(shí)， ，且隨的增大而減小。
    2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第三象限，則的值為（    ）
    A．  B．  C．    D． ．
    3．拋物線y=x²－2x＋3的對(duì)稱軸是直線（ ）
      A．x =2   B．x =－2   C．x =－1  D．x =1    
    4．二次函數(shù)y=x²+2x－7的函數(shù)值是8，那么對(duì)應(yīng)的x的值是（ ）
        A．3    B．5    C．－3和5  D．3和－5    
    5．拋物線y=x²－x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
        
    6．二次函數(shù)的圖象，如圖1－2－40所示，根據(jù)圖象可得a、b、c與0的大小關(guān)系是（ ）
    
        A．a＞0，b＜0，c＜0   B．a＞0，b＞0，c＞0
        C．a＜0，b＜0，c＜0   D．a＜0，b＞0，c＜0    
     
    7．小敏在今年的校運(yùn)動(dòng)會(huì)跳遠(yuǎn)比賽中跳出了滿意一跳，函數(shù)h=3．5 t－4．9 t²(t的單位s；h中的單位：m）可以描述他跳躍時(shí)重心高度的變化．如圖，則他起跳后到重心最高時(shí)所用的時(shí)間是（   ）
       A．0．71s   B．0.70s  C．0.63s   D．0．36s
    8．已知拋物線的解析式為y=－（x—2）²＋l，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
       A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）
    9．若二次函數(shù)y=x²－x與y=－x²+k的圖象的頂點(diǎn)重合，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
       A．這兩個(gè)函數(shù)圖象有相同的對(duì)稱軸
       B．這兩個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向相反
       C．方程－x²+k=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根
       D．二次函數(shù)y=－x²＋k的最大值為
    10．拋物線y=x² +2x－3與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（ ）
        A．0個(gè)     B．1個(gè)    C．2個(gè)    D．3個(gè)
    11．拋物線y=（x—l）² +2的對(duì)稱軸是（ ）
        A．直線x=－1        B．直線x=1  C．直線x=2          D．直線x=2
    12．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在“①  a＜0，②b＞0，③c＜ 0，④b²－4ac＞0”中，正確的判斷是（ ）
    
    A、①②③④  B、④   C、①②③   D、①④
    13．已知二次函數(shù)(a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=－2時(shí)，x的值只能取0．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
    
        A．l個(gè)     B．2個(gè)   C．3個(gè)    D．4個(gè)
    14．如圖，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，－3），則此拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有（）
    
    　　A．最大值1    B．最小值－3     C．最大值－3   D．最小值1
    　　15．用列表法畫(huà)二次函數(shù)的圖象時(shí)先列一個(gè)表，當(dāng)表中對(duì)自變量x的值以相等間隔的值增加時(shí)，函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的值依次為：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一個(gè)值不正確，這個(gè)不正確的值是（   ）
    　　A．506    B．380    C．274    D．182
    　　16．將二次函數(shù)y=x²－4x+ 6化為 y=(x—h)²+k的形式：y=___________
    　　17．把二次函數(shù)y=x²－4x+5化成y=(x—h)²+k的形式：y=___________
    　　18．若二次函數(shù)y=x²－4x+c的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，則c=__
    _________________（只要求寫一個(gè)）．
    　　19．拋物線y=(x－1)²+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________．
    　　20．二次函數(shù)y=x²－2x－3與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為_________.
    　　21. 已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三點(diǎn)，
    （1）       求拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并在給定的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這條拋物線。
    （2）       若點(diǎn)（x₀,y₀）在拋物線上，且0≤x₀≤4,試寫出y₀的取值范圍。
    22．華聯(lián)商場(chǎng)以每件30元購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量（件）與每件的銷售價(jià)（元）滿足一次函數(shù)y=162－3x；
    （1）寫出商場(chǎng)每天的銷售利潤(rùn)（元）與每件的銷售價(jià)（元）的函數(shù)關(guān)系式；
    （2）如果商場(chǎng)要想獲得最大利潤(rùn)，每件商品的銷售價(jià)定為多少為最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？
    23．某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程．下面的二次函數(shù)圖像（部分）刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與銷售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和s與t之間的關(guān)系）．
    
    根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問(wèn)題：
    （1）求累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；
    （2）求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元；
    （3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
    24．如圖，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面AB的寬是20米，如果水位上升3米時(shí)，水面CD的寬為10米，
    （1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；
    （2）現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車從甲地出發(fā)，要經(jīng)過(guò)此橋開(kāi)往乙地，已知甲地到此橋千米，（橋長(zhǎng)忽略不計(jì)）貨車以每小時(shí)40千米的速度開(kāi)往乙地，當(dāng)行駛到1小時(shí)時(shí)，忽然接到緊急通知，前方連降大雨，造成水位以每小時(shí)米的速度持續(xù)上漲，（貨車接到通知時(shí)水位在CD處），當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時(shí)，禁止車輛通行；試問(wèn)：汽車按原來(lái)速度行駛，能否安全通過(guò)此橋？若能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不能，要使貨車安全通過(guò)此橋，速度應(yīng)超過(guò)多少千米？
    
    25.已知直線y＝－2x＋b(b≠0)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為y＝x²－(b＋10)x＋c.
    ⑴若該拋物線過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線y＝－2x＋b上，試確定這條拋物線的解析式；
    ⑵過(guò)點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，若拋物線的對(duì)稱軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線y＝－2x＋b的解析式.
    　　26．已知拋物線y=(1-m)x²+4x-3開(kāi)口向下，與x軸交于A(x₁,0)和B(x₂,0)兩點(diǎn)，其中x_l<x₂．
    　　(1)求m的取值范圍；
    　　(2)若x₁²+ x₂²=10，求拋物線的解析式，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這條拋物線；
    
    27．如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)A在y軸的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=2.
    （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
    （2）求經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
    （3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得S_△PBD=S_梯形ABCD。若存在，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
    
    28．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)小組接受學(xué)校的一項(xiàng)任務(wù)：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長(zhǎng)為6０米的木柵欄圍成一塊生物園地，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案使生物園的面積盡可能大。
    (1)活動(dòng)小組提交如圖的方案。設(shè)靠墻的一邊長(zhǎng)為 x 米，則不靠墻的一邊長(zhǎng)為(60－2x)米，面積y= (60－2x) x米²．當(dāng)x=15時(shí)，y_最大值 =450米²。
    (2)機(jī)靈的小明想：如果改變生物園的形狀，圍成的面積會(huì)更大嗎？請(qǐng)你幫小明設(shè)計(jì)兩個(gè)方案，要求畫(huà)出圖形，算出面積大??；并找出面積最大的方案．
    
     
    

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