一、知識(shí)點(diǎn)
1、集合與元素：把一類事物的全體放在一起就形成一個(gè)集合。每個(gè)集合總是由一些成員組成的，集合的這些成員，叫做這個(gè)集合的元素。
如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9為A的元素。
2、并集：由所有屬于集合A或集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的并集，記作A∪B，記號(hào)“∪”讀作“并”。A∪B讀作“A并B”，用圖表示為圖中陰影部分表示集合A，B的并集A∪B。
例：已知6的約數(shù)集合為A={1，2，3，6}，10的約數(shù)集合為B={1，2，5，10}，則A∪B={1，2，3，5，6，10}
3、交集：A、B兩個(gè)集合公共的元素，也就是那些既屬于A，又屬于B的元素，它們組成的集合叫做A和B的交集，記作“A∩B”，讀作“A交B”，如圖陰影表示：
例：已知6的約數(shù)集合A={1，2，3，6}，10的約數(shù)集合B={1，2，5，10}，則A∩B={1，2}。
4、容斥原理（包含與排除原理）：
（用|A|表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，如A={1，2，3}，則|A|=3）
原理一：給定兩個(gè)集合A和B，要計(jì)算A∪B中元素的個(gè)數(shù)，可以分成兩步進(jìn)行：
第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者說把A，B的一切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起）；
第二步：減去∣A∩B∣（即“排除”加了兩次的元素）
總結(jié)為公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣
原理二：給定三個(gè)集合A，B，C。要計(jì)算A∪B∪C中元素的個(gè)數(shù)，可以分三步進(jìn)行：
第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；
第二步：減去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；
第三步：再加上∣A∩B∩C∣。
即有以下公式：
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣
二、例題分析：
例1 求不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)。
分析：設(shè)A={20以內(nèi)2的倍數(shù)}，B={20以內(nèi)3的倍數(shù)}，顯然，要求計(jì)算2或3的倍數(shù)個(gè)數(shù)，即求∣A∪B∣。
解1：A={2，4，6，…20}，共有10個(gè)元素，即|A|=10
B={3，6，9，…18}，共有6個(gè)元素，即|B|=6
A∩B={既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)}={6，12，18}，共有3個(gè)元素，即|A∩B|=3
所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13個(gè)元素。
解2：本題可直觀地用圖示法解答
如圖,其中,圓A中放的是不超過20的正整數(shù)中2的倍數(shù)的全體;圓B中放的是不超過20的正整數(shù)中3的倍數(shù)的全體,其中陰影部分的數(shù)6,12,18是既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)(即A∩B中的數(shù))只要數(shù)一數(shù)集合A∪B中的數(shù)的個(gè)數(shù)即可。
例2 某班統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，數(shù)學(xué)得90分上的有25人；語(yǔ)文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人？
解：設(shè)A={數(shù)學(xué)成績(jī)90分以上的學(xué)生}
B={語(yǔ)文成績(jī)90分以上的學(xué)生}
那么，集合A∪B表示兩科中至少有一科在90分以上的學(xué)生，由題意知，
∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38
現(xiàn)要求兩科均在90分以上的學(xué)生人數(shù)，即求∣A∩B∣，由容斥原理得
∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8
點(diǎn)評(píng)：解決本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合A，B，并且會(huì)表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。
例3 某班同學(xué)中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、跑步這兩項(xiàng)體育活動(dòng)的總?cè)藬?shù)是多少？
解：設(shè)A={打籃球的同學(xué)}；B={跑步的同學(xué)}
則 A∩B={既打籃球又跑步的同學(xué)}
A∪B={參加打籃球或跑步的同學(xué)}
應(yīng)用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51（人）
例4 求在不超過100的自然數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個(gè)？
分析：這個(gè)問題與前幾個(gè)例題看似不相同，不能直接運(yùn)用容斥原理，要計(jì)算的是“既不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)。”但是，只要同學(xué)們仔細(xì)分析題意，這只需先算出“100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)?！痹?gòu)?00中減去就行了。
解：設(shè)A={100以內(nèi)的5的倍數(shù)}
B={100以內(nèi)的7的倍數(shù)}
A∩B={100以內(nèi)的35的倍數(shù)}
A∪B={100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)}
則有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2
由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32
因此，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：100-32=68（個(gè)）
點(diǎn)評(píng)：從以上的解答可體會(huì)出一種重要的解題思想：有些問題表面上看好象很不一樣，但經(jīng)過細(xì)心的推敲就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間有著緊密的聯(lián)系，應(yīng)當(dāng)善于將一個(gè)問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問題。
例5 某年級(jí)的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)三個(gè)小組，參加數(shù)學(xué)小組的有23人，參加語(yǔ)文小組的有27人，參加外語(yǔ)小組的有18人；同時(shí)參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩個(gè)小組的有4人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、外語(yǔ)小組的有7人，同時(shí)參加語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的有5人；三個(gè)小組都參加的有2人。問：這個(gè)年級(jí)參加課外學(xué)科小組共有多少人？
解1：設(shè)A={數(shù)學(xué)小組的同學(xué)}，B={語(yǔ)文小組的同學(xué)}，C={外語(yǔ)小組的同學(xué)}，A∩B={數(shù)學(xué)、語(yǔ)文小組的同學(xué)}，A∩C={參加數(shù)學(xué)、外語(yǔ)小組的同學(xué)}，B∩C={參加語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的同學(xué)}，A∩B∩C={三個(gè)小組都參加的同學(xué)}
由題意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18
∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2
根據(jù)容斥原理二得：
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣
=23+27+18-（4+5+7）+2
=54（人）
解2： 利用圖示法逐個(gè)填寫各區(qū)域所表示的集合的元素的個(gè)數(shù)，然后求出最后結(jié)果。
設(shè)A、B、C分別表示參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的同學(xué)的集合，其圖分割成七個(gè)互不相交的區(qū)域，區(qū)域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三個(gè)小組都參加的同學(xué)的集合，由題意，應(yīng)填2。區(qū)域Ⅳ表示僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為4-2=2（人）。區(qū)域Ⅵ表示僅參加數(shù)學(xué)與外語(yǔ)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為7-2=5（人）。區(qū)域Ⅴ表示僅參加語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為5-2=3（人）。區(qū)域Ⅰ表示只參加數(shù)學(xué)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為23-2-2-5=14（人）。同理可把區(qū)域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人數(shù)逐個(gè)算出，分別填入相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則參加課外小組的人數(shù)為；
14+20+8+2+5+3+2=54（人）
點(diǎn)評(píng)：解法2簡(jiǎn)單直觀，不易出錯(cuò)。由于各個(gè)區(qū)域所表示的集合的元素個(gè)數(shù)都計(jì)算出來了，因此提供了較多的信息，易于回答各種方式的提問。
例6 學(xué)校教導(dǎo)處對(duì)100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲?。ǖ幌矚g看電影）的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇（但不喜歡看球賽）的有4人，三種都喜歡的有12人。問有多少同學(xué)只喜歡看電影？有多少同學(xué)既喜歡看球賽又喜歡看電影（但不喜歡看戲?。?？（假定每人至少喜歡一項(xiàng)）
解法1：畫三個(gè)圓圈使它們兩兩相交，彼此分成7部分（如圖）這三個(gè)圓圈分別表示三種不同愛好的同學(xué)的集合，由于三種都喜歡的有12人，把12填在三個(gè)圓圈的公共部分內(nèi)（圖中陰影部分），其它6部分填上題目中所給出的不同愛好的同學(xué)的人數(shù)（注意，有的部分的人數(shù)要經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算）其中設(shè)既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數(shù)為χ，這樣，全班同學(xué)人數(shù)就是這7部分人數(shù)的和，即
16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100
解得 χ=14
只喜歡看電影的人數(shù)為
36-14=22
解法2：設(shè)A={喜歡看球賽的人}，B={喜歡看戲劇的人}，C={喜歡看電影的人}，依題目的條件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（這里加12是因?yàn)槿N都喜歡的人當(dāng)然喜歡其中的兩種），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再設(shè)|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12
解得：х=14
∴36-14=22
所以既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數(shù)為14，只喜歡看電影的人數(shù)為22。
點(diǎn)評(píng)：解法1沒有用容斥原理公式，而是先分別計(jì)算出（未知部分設(shè)為х）各個(gè)部分（本題是7部分）的數(shù)目，然后把它們加起來等于總數(shù)，這種計(jì)算方法也叫“分塊計(jì)數(shù)法”，它是利用圖示的方法來解決有關(guān)問題，希望同學(xué)們能逐步掌握此類方法，它比直接用容斥原理公式更直觀，更具體。
例7、某車間有工人100人，其中有5個(gè)人只能干電工工作，有77人能干車工工作，86人能干焊工工作，既能干車工工作又能干焊工工作的有多少人？
解：工人總數(shù)100，只能干電工工作的人數(shù)是5人，除去只能干電工工作的人，這個(gè)車間還有95人。 利用容斥原理，先多加既能干車工工作又能干焊工工作的這一部分，其總數(shù)為163，然后找出這一公共部分，即163-95=68
例8、某次語(yǔ)文競(jìng)賽共有五道題（滿分不是100分），丁一只做對(duì)了（1）、（2）、（3）三題得了16分；于山只做對(duì)了（2）、（3）、（4）三題，得了25分；王水只做對(duì)了（3）、（4）、（5）三題，得了28分，張燦只做對(duì)了（1）、（2）、（5）三題，得了21分，李明五個(gè)題都對(duì)了他得了多少分？
解：由題意得：前五名同學(xué)合在一起，將五個(gè)試題每個(gè)題目做對(duì)了三遍，他們的總分恰好是試題總分的三倍。五人得分總和是16+25+28+21=90。因此，五道題滿分總和是90÷3=30。所以李明得30分。
例9，某大學(xué)有外語(yǔ)教師120名，其中教英語(yǔ)的有50名，教日語(yǔ)的有45名，教法語(yǔ)的有40名，有15名既教英語(yǔ)又教日語(yǔ)，有10名既教英語(yǔ)又教法語(yǔ)，有8名既教日語(yǔ)又教法語(yǔ)，有4名教英語(yǔ)、日語(yǔ)和法語(yǔ)三門課，則不教三門課的外語(yǔ)教師有多少名？
解：本題只有求出至少教英、日、法三門課中一種的教師人數(shù)，才能求出不教這三門課的外語(yǔ)教師的人數(shù)。至少教英、日、法三門課中一種教師人數(shù)可根據(jù)容斥原理求出。根據(jù)容斥原理,至少教英、日、法三門課中一種的教師人數(shù)為50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教這三門課的外語(yǔ)教師的人數(shù)為120-106=14（人）