閘北區(qū)2011學(xué)年度第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)（文科）高考模擬卷 2012.4 考生注意：分14題，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得4分，否則一律得零分． 1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則 ． 2．計(jì)算 ． 3．設(shè)，則 ． 4．若以為增廣矩陣的線性方程組有唯一一組解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 5．的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）． 6．從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）：125，124，121，123，127． 則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 克． 7．若實(shí)數(shù)，滿足不等式組的最大值 8．設(shè)定點(diǎn)、，動點(diǎn)滿足：，則動點(diǎn)的軌跡方程為 ． 9．從名男、名女中選名組成一個(gè)，男、女都有 10．設(shè)直線與平面相交但不垂直，則在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線垂直與直線平行的不可能與平面垂直與直線垂直的直線不可能與平面平行與直線平行的平面不可能與平面垂直的不等式的解集為，則的取值范圍為 ． 12．某城區(qū)從某年開始的綠化總面積（萬平方米）與時(shí)間（年）的關(guān)系為．則該城區(qū)綠化總面積從4萬平方米到12萬平方米所用的時(shí)間為 年．（四舍五入取整） 13．若對任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 14．對于任意的平面向量，定義新運(yùn)算：．若為平面向量，，則下列運(yùn)算性質(zhì)一定成立的所有序號是 ． ①； ②； ③； ④．二、選擇題（20分）本大題共有4題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得5分，否則一律得零分. 15．圓關(guān)于直線對稱的圓方程是 （ ） A． B． C． D． 16．設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，又已知在上為減函數(shù)，且，則不等式的解集為 （ ） A． B． C． D． 17．的圓柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度為．若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒置的圓錐形器皿中，則水面的高度是（ ） A． B． C． D． 18．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)，對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍為 （ ） A． B． C． D．三、解答題（本題滿分7分）中，．（1）求該正四棱錐的體積；（2）設(shè)為側(cè)棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大?。?20．（本小題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）已知函數(shù)，．（1）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 21．（本小題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）一自來水廠用蓄水池通過管道向所管轄區(qū)域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千噸，水廠計(jì)劃在當(dāng)日每小時(shí)向蓄水池注入水2千噸，且每小時(shí)通過管道向所管轄區(qū)域供水千噸．（1）多少小時(shí)后，蓄水池存水量最少？（2）當(dāng)蓄水池存水量少于3千噸時(shí)，供水就會出現(xiàn)緊張現(xiàn)象，那么當(dāng)日出現(xiàn)這種情況的時(shí)間有多長？ 22．（本小題滿分16分，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分）設(shè)橢圓（常數(shù)）的左右焦點(diǎn)分別為，是直線上的兩個(gè)動點(diǎn)，．（1）若，求的值；（2）求的最小值． 23．（本小題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第2小題滿分6分） 如圖，，，…，，…是曲線上的點(diǎn)，，，…，，… 是軸正半軸上的點(diǎn)，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）寫出、和之間的等量關(guān)系，以及、和之間的等量關(guān)系；（2）求證：（）；（3）設(shè)，對所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 閘北區(qū)2011學(xué)年度第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)（理科）高考模擬卷 2012.4 考生注意：分14題，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得4分，否則一律得零分． 1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則 ． 2．計(jì)算 ． 3．設(shè)，則 ． 4．若以為增廣矩陣的線性方程組有唯一一組解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 5．的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）． 6．從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）：125，124，121，123，127． 則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 克． 7．已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，，則曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 ． 8．設(shè)定點(diǎn)、，動點(diǎn)滿足：，則動點(diǎn)的軌跡方程為 ． 9．設(shè)直線與平面相交但不垂直，則在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線垂直過直線有且只有一個(gè)平面與平面垂直與直線平行的不可能與平面垂直與直線垂直的直線不可能與平面平行與直線平行的平面不可能與平面垂直，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2分鐘．則該校某個(gè)學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的均值等于 分鐘． 11．若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為 ． 12．某城區(qū)從某年開始的綠化總面積（萬平方米）與時(shí)間（年）的關(guān)系為．則該城區(qū)綠化總面積從4萬平方米到12萬平方米所用的時(shí)間為 年．（四舍五入取整） 13．若對任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 14．對于任意的平面向量，定義新運(yùn)算：．若為平面向量，，則下列運(yùn)算性質(zhì)一定成立的所有序號是 ． ①； ②； ③ ④； ⑤. 二、選擇題（20分）本大題共有4題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得5分，否則一律得零分. 15．圓關(guān)于直線對稱的圓方程是 （ ） A． B． C． D． 16．設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，又已知在上為減函數(shù)，且，則不等式的解集為 （ ） A． B． C． D． 17．的圓柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度為．若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒置的圓錐形器皿中，則水面的高度是（ ） A． B． C． D． 18．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)，對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍為 （ ） A． B． C． D．三、解答題（本題滿分7分）19．（本小題滿分12分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分）如圖，菱形中，，其對角線的交點(diǎn)為，現(xiàn)將沿對角線向上翻折，使得．在四面體中，在上移動，點(diǎn)在上移動，且．（1）求線段的最大值與最小值；（2）當(dāng)線段的長最小時(shí)，求異面直線與所成角的大?。?20．（本小題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）已知函數(shù)，．（1）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 21．（本小題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然氣用量和支付費(fèi)用如下表所示：月份 用氣量（立方米） 支付費(fèi)用（元） 一 4 8 二 20 38 三 26 50 該市的家用天然氣收費(fèi)方法是：天然氣費(fèi)＝基本費(fèi)超額費(fèi)保險(xiǎn)費(fèi)．現(xiàn)已知，在每月用氣量不超過立方米時(shí)，只交基本費(fèi)6元；每戶的保險(xiǎn)費(fèi)是每月元；用氣量超過立方米時(shí)，超過部分每立方米付元． 設(shè)當(dāng)該家庭每月用氣量立方米時(shí)，所支付費(fèi)用為元．求關(guān)于的函數(shù)解析式． 22．（本小題滿分16分，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分）設(shè)橢圓（常數(shù)）的左右焦點(diǎn)分別為，是直線上的兩個(gè)動點(diǎn)，．（1）若，求的值；（2）求的最小值． 23．（本小題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第2小題滿分6分） 如圖，，，…，，…是曲線上的點(diǎn)，，，…，，… 是軸正半軸上的點(diǎn)，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）寫出、和之間的等量關(guān)系，以及、和之間的等量關(guān)系；（2）猜測并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，集合，，若，求實(shí)常數(shù)的取值范圍． 閘北區(qū)2011學(xué)年度第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)（文科）高考模擬卷答案 2012.4 一、1． 2． 3． 4． 5． 10 6． 2 7． 2 8． 9． 10． ②③ 11． 12． 8 13． 14． ①③ 二、15．D． 16．B． 17．三、為底面正方形中心，則為該正四棱錐的高由已知，可求得，，……………………4分所以，． ……………………2分（2）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)、， 可求得，，，……………3分在中，由余弦定理，得．…………………2分所以， ……………………1分 20．解：（1）由題設(shè)知．因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以，………………2分即（）．………………………………………3分所以…………………………………2分（2） ． ………………………………………………………………5分當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）． ……………………2分 21．解：（1）設(shè)小時(shí)后，蓄水池有水千噸．………………………………………1分依題意，…………………………………………4分當(dāng)，即（小時(shí)）時(shí)，蓄水池的水量最少，只有1千噸． ………2分（2）依題意， ………………………………………………3分解得：． …………………………………………………………………3分所以，當(dāng)天有8小時(shí)會出現(xiàn)供水緊張的情況． ………………………………1分 22．解：設(shè)， ………………………………………………………1分則，由得 ①………………………………………………2分（1）由，得 ② …………………………………………………1分 ③ …………………………………………………1分由①、②、③三式，消去，并求得． ……………………………………3分（2）解法一：易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．……………………………2分， ……4分所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取最小值．…2分解法二：， ……………………………4分所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取最小值． …2分 23．解：（1）依題意，有，，…………………………4分（2）證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立； ………………………2分 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有，……………………………………1分則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，得．即解得（不合題意，舍去）即當(dāng)時(shí)，命題成立． ……………………………………………………………4分綜上所述，對所有，． ………………… ……………………1分（3） ．………………………2分因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即．…………………………………………………………………………………2分由題意，有． 所以，． ……………………………………………………………………2分 閘北區(qū)2011學(xué)年度第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)（理科）高考模擬卷答案 2012.4 一、 1． 2． 3． 4． 5．10 6．2 7． 8． 9．②③ 10． 11． 12．8 13． 14．①④ 二、15．D． 16．B． 17．三、為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，……1分由已知可求得，，…2分 ． ………………………2 所以，當(dāng)時(shí)，線段的最小值為．……1分（2），， ……2分 ……3分所以， ……………………1分解二：（1）如圖，過點(diǎn)作，則，…2分在中，由余弦定理，得．……3分所以，當(dāng)時(shí)，線段的最小值為． ………………1分（2）過點(diǎn)作，在中，可求得，，由余弦定理可求． 20．解：（1）由題設(shè)知．因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以，………………2分即（）．………………………………………3分所以…………………………………2分（2） ． ………………………………………………………………5分當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）． ……………………2分 21．解：根據(jù)題意，…………………2分因?yàn)?，所以．由表格知，二、三月份的費(fèi)用大于11，因此，二、三月份的用氣量均超過基本量，于是有 …………………………………………………………4分解得 （3）……………………………………………………2分假設(shè)一月份用氣量超過了基本量，即．將代入（2）得與（3）矛盾．…………………………………2分所以，所以，． …………………………………………2分因此，，，．所以， …………………………………………2分 22．解：設(shè)， ……………………………………………………1分則由得 ①………………………………………………2分（1）由，得 ② ……………………………………………………1分 ③ ……………………………………………………1分由①、②、③三式，消去，并求得． ……………………………………3分（2）易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：． …………………………………2分解法一：，4分所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取最小值． …2分解法二：， ……………………………4分所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取最小值．…2分 23．解：（1）依題意，有，， ………………………4分（2）由得，即．猜測． …………………………………………………………2分證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立； ……………………………1分 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有， …………………………………1分則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，得．即解得（不合題意，舍去）即當(dāng)時(shí)，命題成立． …………………………………………………………3分綜上所述，對所有，． ……………………………………1分（3） ．……………………2分因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以．…………………………………………………………………………2分 由，有或， 故，．………………………………………………………………2分
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