梯形中常見(jiàn)輔助線的作法
湖北省黃石市下陸中學(xué) 陳 勇
梯形是一種特殊的四邊形,它是平行四邊形和三角形的“綜 合 ”?？梢酝ㄟ^(guò)適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，構(gòu)造三角形、平行四邊形，再運(yùn)用三角形、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)去解決梯形問(wèn)題。下面就梯形中輔助線的常見(jiàn)添加方法舉例說(shuō)明，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。
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一、平移對(duì)角線：平移一條對(duì)角線，使之經(jīng)過(guò)梯形的另一個(gè)頂點(diǎn)。
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例1 如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AC⊥BD,梯形的高CF為10，求梯形ABCD的面積。
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分析：由于等腰梯形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD且AC=BD，所以我們可以平移一對(duì)角線構(gòu)造一等腰直角三角形，通過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)梯形的面積與這個(gè)三角形的面積相等，因此只需求出三角形的面積即可。
解：過(guò)點(diǎn)C作CE∥DB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
∵DC∥AE ；∴四邊形CDBE為平行邊形；∴DB=CE,DC=BE
∵梯形ABCD為等腰梯形；∴AD=BC,AC=BD；∴AC=CE
∴
△ADC≌△CBE即S△ADC=S△CBE；∴S梯形ABCD= S△ACE
∵AC⊥BD，CE∥DB；∴AC⊥CE；∴△ACE為等腰直角三角形
∵CF為高,∴CF也為等腰直角三角形ACE斜邊上的中線
∵CF=10，∴AE=20
∴S梯形ABCD= S△ACE=
AE×CF=×20×10=100?
二、平移一腰或兩腰：平移一腰，使之經(jīng)過(guò)梯形的另一個(gè)頂點(diǎn)或另?xiàng)l腰的中點(diǎn)；或者同時(shí)移動(dòng)兩腰使它們交于一點(diǎn)。
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例2 如圖，等腰梯形ABCD兩底之差等于一腰的長(zhǎng)，那么這個(gè)梯形較小的一個(gè)內(nèi)角是(? )
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A.9O° B.6O° C.45° D.30°
解析：由條件“兩底之差等于一腰的長(zhǎng)”，可平移一腰。如圖所示平移 DC到AE，AE交BC于E?？芍狟E= BC-AD=AB．又AB=DC=AE．故 AB=BE=AE,△ABE是等邊三角形。所以∠B=60°.故選B。
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例3 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC．AD<BC，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，且EF⊥BC。求證：∠B=∠C。
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解析：要證∠B=∠C，可把它們移到同一個(gè)三角形中，利用等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)加以證明。
過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，EG∥DC，分別交BC于H、G。
∵AD∥BC，∴四邊形ABHE和四邊形EGCD都是平行四邊形。
∴AE=BH，ED=GC。又E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，所以AE=ED，BF=FC
∴BH=GC,BF-BH= FC-GC，從而FH=FG.又EF⊥BC,所以EH=EG，故?? ∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。
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三、延長(zhǎng)兩腰：將梯形兩腰延長(zhǎng)相交構(gòu)造三角形。
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例4 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周長(zhǎng)。
解析：延長(zhǎng)兩腰相交于點(diǎn) E，如圖，因?yàn)椤螦BC=∠BCD=60°，故∠E=60°，△BCE為等 邊三角形。又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE，所以CD=
BC。又AD∥BC，故△ADE為等邊三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。???????????????????????????????????????????
∴梯形的周長(zhǎng)為30+AB+CD=30+2CD=50。
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四、作梯形的高：過(guò)梯上底的兩個(gè)端點(diǎn)分別作梯形的高。
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例5 已知等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角為60°，它的上底是3cm，腰長(zhǎng)是4cm，則下底是?????? 。
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解析：如圖，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°， AD=3cm，AB=DC=4cm，過(guò)點(diǎn)A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F則有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=
AB=2 cm。?????????????????????????????????????????
∴? BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).
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梯形中添加輔助線的方法有很多，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中還須活學(xué)活用，也可以以口訣的形式記憶下來(lái)：“
移動(dòng)梯形對(duì)角線，兩腰之和成一線；平行移動(dòng)一條腰，兩腰同在“△”現(xiàn)；延長(zhǎng)兩腰交一點(diǎn)，“△”中有平行線；作出梯形兩高線，矩形顯示在眼前；已知腰上一中線，莫忘作出中位線”。
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