有理數(shù)中的分類討論思想
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
在有理數(shù)的概念和運算中，因為“相反數(shù)到原點的距離相等”、“在數(shù)軸上兩點間的距離即這兩數(shù)差的絕對值”、“相反數(shù)的絕對值、偶次方相等”等相關(guān)性質(zhì)，以及用字母代替數(shù)的代數(shù)方法，可能會使有理數(shù)的相關(guān)運算出現(xiàn)答案的不唯一性，要求我們建立分類討論的思想。
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一、相反數(shù)、絕對值在數(shù)軸上的意義（幾何意義）
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例1 在數(shù)軸上，與表示－２的點相距５個單位長度的點表示的數(shù)是????????? 。
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分析：在數(shù)軸上與表示－２的點相距５個單位長度的點，可以在表示－２的點的左邊為－７，也可以在表示－２的點的右邊為３。故符合題意的數(shù)有－７或３。
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例２ 已知數(shù)軸上的A點到原點的距離是2，那么在數(shù)軸上到A點的距離是3的點所表示的數(shù)有?????????? 。
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A?? 1個????????? B?? 2個???????????? C?? 3個???????????? D?? 4個
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分析：A點到原點的距離是2， 即
，由“相反數(shù)的絕對值相等”可知，a=±2。設(shè)到A點的距離是3的點所表示的數(shù)為x，根據(jù)絕對值的幾何意義，即有
，????? ∴x－2=±3或x+2=±3? ∴x=5或－１或１或－５ 故選（Ｄ）。?
也可以這樣分析：Ａ點到原點的距離是２，Ａ點可能在原點的左邊，也可能在原點的右邊，有兩種情況；到Ａ點距離是３的點又可能在Ａ的左邊或右邊，有兩種可能。故共有４種符合條件的情況。??
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二、相反數(shù)的絕對值、偶次冪相等
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例3已知
。求a+b的值。?
分析：由“相反數(shù)的絕對值相等”，
，a=±8；
，b=±6。a、b的取值有4種情況：⑴a=8，b=6時，a+b=8+6=14；⑵a=8，b=－6時，a+b=8+（－6）=2；⑶a=－８，ｂ＝６時，ａ+ｂ＝－８+６＝－２；⑷ａ＝－８，ｂ＝－６時，ａ+ｂ＝－８+（－６）＝－１４。?
例4已知
，（y+2）
=4，求x+y的值。?
分析：由“相反數(shù)的絕對值、偶次冪相等”，有x+1=±4，故x=3或－5；y+2=±2，故y=0或－4。X、y的取值應(yīng)分4種情況討論：⑴x=3，y=2；⑵x=3，y=－２；⑶ｘ＝－３，ｙ＝２；⑷ｘ＝－３，ｙ＝－２。分別求出ｘ+ｙ的值。
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三、有理數(shù)中的符號（正、負(fù)）
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例5比較
與
的大小?
分析：根據(jù)絕對值法則，去掉絕對值符號，要先判斷絕對值符號中式子的正負(fù)，即“先判后去”的原則。當(dāng)式子中有字母時，需討論字母的取值條件不同，所得結(jié)果也不同。本題中可分3種情況討論：⑴a、b同號，
=；⑵a、b異號，＞；⑶a、b中至少一個為0時，=。?
此外還有絕對值化簡中的0點分段討論法，倒數(shù)中的分段討論大小等問題，都需要有分類討論思想。
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分類討論思想是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，在今后的學(xué)習(xí)中還會大量遇到。分類討論思想，就是要我們在思考數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)充分注意思考的全面性及結(jié)果的多樣性，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和周密。大家可以在今后的學(xué)習(xí)中逐漸去認(rèn)識和體會。
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