雙曲線中的面積問(wèn)題
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)，我們經(jīng)常遇到一些求解與其函數(shù)圖象雙曲線有關(guān)的面積問(wèn)題。要解決好這些問(wèn)題，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的基礎(chǔ)知識(shí)：
設(shè)反比例函數(shù)式為y=
。⑴由雙曲線上一點(diǎn)向兩條坐標(biāo)軸做垂線段，由這兩條垂線段與兩坐標(biāo)州圍成的矩形的面積計(jì)算。（如圖1，以第一象限的圖象為例）
由四邊形PMON為矩形。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），P在y=
圖象上，則有mn=k?！逴M=
，ON=
∴S四邊形OMPN=OM·ON=
·=
=
⑵由雙曲線上一點(diǎn)向其中一條坐標(biāo)軸的作垂線段，并連接這一點(diǎn)與原點(diǎn)的線段，由這兩條線段與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的計(jì)算。（如圖2，仍以第一象限的圖象為例）
由圖象可知，S△
POM=S△PON=
S四邊形OMPN=。⑶理解點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則
表示P到y(tǒng)軸的距離；表示P到x軸的距離。⑷用好雙曲線的對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，因此雙曲線y=
與過(guò)原點(diǎn)O的正比例函數(shù)y=k2x的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱。⑸會(huì)利用反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=
設(shè)雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)。如點(diǎn)P在雙曲線y=的圖象上，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（m，
）⑹會(huì)用割補(bǔ)法求面積。尤其要注意有時(shí)需先利用坐標(biāo)軸構(gòu)造出特殊圖形（如矩形、梯形、直角三角形等）。
?
一、用好雙曲線的對(duì)稱性
?
例1 若函數(shù)y=kx（k＞0）與函數(shù)y=
的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，AB⊥x軸于B。則△ABC的面積為（?? ）。
A。1???? B。2? ????C。3?????? D。4
解：由A在雙曲線y=
上，AB⊥x軸于B。∴S
△ABO=
×1=又由A、B關(guān)于O對(duì)稱，S△CBO= S△ABO=
?∴S△ABC= S△CBO+S△ABO=1??? 故選（A）
?
二、正確理解點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義
?
例2 如圖，反比例函數(shù)y=－
與一次函數(shù)y=－x+2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，則S△AOB=???????? 。
解：由y=－x+2交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N
M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）?∴OM=2，ON=2
由
?? 解得
或
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，－2）
S△AOB=S△AON+S△MON+S△BOM
???? =
ON·
+OM·ON+OM·
=6（或S△AOB=S△AOM+S△BOM=
OM·
+OM·=6）?
三、注意分類討論
?
例3 如圖，正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)y=
（k＞0，x＞0）的圖象上。點(diǎn)P（m、n）是函數(shù)函數(shù)y=上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線。垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面積為S。
⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)和k值。
⑵當(dāng)S=
時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。解：⑴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），B在函數(shù)y=
（k＞0，x＞0）的圖象上，∴S正方形OABC= x0y0=9，∴x0=y0=3即點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，3），k= x
0y0=9
⑵①當(dāng)P在B點(diǎn)的下方（m＞3）時(shí)。
設(shè)AB與PF交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)P（m、n）是函數(shù)函數(shù)y=
上，∴S四邊形CEPF=mn=9，S矩形OAHF=3n
∴S=9－3n=
，解得n=
。當(dāng)n=時(shí)，
=，即m=6∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，
）②當(dāng)P在B點(diǎn)的上方（m＜3）時(shí)。 同理可解得：P1點(diǎn)的坐標(biāo)為（
，6）∴當(dāng)S=
時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，）或（，6）。?
四、善用“割補(bǔ)法”
?
例4 如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=
的圖象相交于A（1，4），B（3，m）兩點(diǎn)。
⑴求一次函數(shù)解析式；⑵求△AOB的面積。
解：⑴由A（1，4），在y=
的圖象上，∴k2=xy=4B（3，m）在y=
的圖象上，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，
）A（1，4）、B（3，
）在一次函數(shù)y=k1x+b的圖象上，可求得一次函數(shù)解析式為：y=－
x+
。⑵設(shè)一次函數(shù)y=－
x+交x軸于M，交y軸于N（如圖）。則M（4，0），N（0，）S△AOB=S△MON－S△OBM－S△AON=
OM·ON—OM－ON?????? =
×4×－×4×－××1=?
五、構(gòu)造特殊輔助圖形
?
例5 如圖，已知直線y=
x與雙曲線y=（k＞0）交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4。⑴求k的值；⑵若雙曲線y=（k＞0）上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積。⑶過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線交雙曲線y=（k＞0）于P、Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)ABPQ為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
解：⑴A橫坐標(biāo)為4，在直線y=
x上，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）A（4，2）又在y=
上，∴k=4×2=8⑵C的縱坐標(biāo)為8，在雙曲線y=
上，C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8）過(guò)A、C分別作x軸、y軸垂線，垂足為M、N，且相交于D，則得矩形ONDM。S
矩形ONDM=4×8=32。
又S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4
∴S△AOC= S矩形ONDM―S△ONC―S△CDA―S△OAM=32―4―9―4=15
⑶由反比例函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形。S△POA=
S四邊形APBQ=6設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，
），過(guò)P、A分別作x軸、y軸垂線，垂足為E、M。∴S△POE=S△AOM=
k=4①若0＜m＜4時(shí)，如圖所示。
∵S△PEO+S梯形PEMA=S△POA+S△AOM，∴S梯形PEMA=S△POA=6
∴
（2+）（4－m）=6?? 解得m=2或m=－8（舍去）? P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）②若m＞4時(shí)，同理可求得m=8或m=－2（舍去），P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，1）
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作者簡(jiǎn)介：宋毓彬，男，45歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《數(shù)理天地》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》、《數(shù)理報(bào)》、《小博士報(bào)》、《少年智力開(kāi)發(fā)報(bào)》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類文章60多篇。主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究。
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