用與正方形有關的一個結論解題
湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬 湖北省黃石市二十一中 皮學軍
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在以任意三角形兩邊向外作正方形時,可以得到如下一個有用的結論：以三角形任意兩邊為邊長向外作正方形，則有公共端點的兩個相鄰的正方形邊長所圍成的三角形面積與原三角形面積相等。
一、結論的證明
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如圖1，以△ABC的兩邊AB、AC為邊長分別向外作正方形ABDE、ACFG，連接GE。
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求證：S△AEG=S△ABC。
證明：⑴當∠BAC＝90°時，顯然△EAG≌△BAC，∴S△AEG=S△ABC。
⑵當∠BAC＜90°時，過C作CM⊥AB于M，過G作GN⊥AE的延長線于N。
∵∠GAN+∠NAC=∠GAC=90°，∠MAC+∠NAC=∠MAN=90°
∴∠GAN=∠MAC，又AC=AG，∠AMC=∠ANG=90°
∴△AMC≌△ANG，∴GN=CM
又S
△AEG=
AE·GN，S△ABC=AB·CM???? ∴S△AEG= S△ABC⑶當∠BAC＞90°時，如圖中輔助線，仿照⑵，同理可證。
綜合以上結論可知，命題成立。
二、結論的應用
例1 如圖2，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7平方厘米和11平方厘米。則△CDE的面積為?????? 。
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解：由ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7平方厘米和11平方厘米，則AD=
（厘米），DG=
（厘米）在直角三角形ADG中，由勾股定理，可求得AG=2
∴S
△ADG=
AD·AG=由上面的結論可知：S△CDE= S△ADG=
例2 如圖3，圖甲中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面積分別為17、10、13，圖乙中DPQR為矩形。對照圖乙，計算圖甲中六邊形ABCIGH的面積。
解：由圖甲，可求得：ED=
，EF=
，DF=
??? 由圖乙，根據(jù)勾股定理可求得：ED=
，EF=，DF=??? 圖乙中，S△DEF=S
矩形―S△DPE－S△EQF－S△DRF
???????????????? =4×3－
×4×1－×2×3－×3×1=5.5
根據(jù)上面的結論：S△DEF=S△AEH= S△FGI=S△BDC=5.5
六邊形ABCIGH的面積為：17+13+10+4×5.5=52
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三、小試身手
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園林小路，曲徑通幽。如圖4所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石鋪成。已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地??????? 平方米。
（參考答案：a+2b）
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作者簡介：宋毓彬，男，45歲，中學數(shù)學高級教師。在《中學數(shù)學教學參考》、《中學生數(shù)學》、《數(shù)理天地》、《語數(shù)外學習》、《數(shù)理化學習》、《數(shù)理化解題研究》、《中學課程輔導》、《數(shù)學周報》、《數(shù)學輔導報》、《數(shù)理報》、《中學生學習報》、《小博士報》、《少年智力開發(fā)報數(shù)學專頁》等報刊發(fā)表教學輔導類文章80多篇。主要致力于初中數(shù)學中考及解題方法、技巧等教學方面的研究。
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