用與正方形有關(guān)的一個(gè)結(jié)論解題
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬 湖北省黃石市二十一中 皮學(xué)軍
?
在以任意三角形兩邊向外作正方形時(shí),可以得到如下一個(gè)有用的結(jié)論：以三角形任意兩邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，則有公共端點(diǎn)的兩個(gè)相鄰的正方形邊長(zhǎng)所圍成的三角形面積與原三角形面積相等。
一、結(jié)論的證明
?
如圖1，以△ABC的兩邊AB、AC為邊長(zhǎng)分別向外作正方形ABDE、ACFG，連接GE。
?
求證：S△AEG=S△ABC。
證明：⑴當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，顯然△EAG≌△BAC，∴S△AEG=S△ABC。
⑵當(dāng)∠BAC＜90°時(shí)，過(guò)C作CM⊥AB于M，過(guò)G作GN⊥AE的延長(zhǎng)線于N。
∵∠GAN+∠NAC=∠GAC=90°，∠MAC+∠NAC=∠MAN=90°
∴∠GAN=∠MAC，又AC=AG，∠AMC=∠ANG=90°
∴△AMC≌△ANG，∴GN=CM
又S
△AEG=
AE·GN，S△ABC=AB·CM???? ∴S△AEG= S△ABC⑶當(dāng)∠BAC＞90°時(shí)，如圖中輔助線，仿照⑵，同理可證。
綜合以上結(jié)論可知，命題成立。
二、結(jié)論的應(yīng)用
例1 如圖2，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7平方厘米和11平方厘米。則△CDE的面積為?????? 。
?????????????????????????????????????????????????????
解：由ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7平方厘米和11平方厘米，則AD=
（厘米），DG=
（厘米）在直角三角形ADG中，由勾股定理，可求得AG=2
∴S
△ADG=
AD·AG=由上面的結(jié)論可知：S△CDE= S△ADG=
例2 如圖3，圖甲中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面積分別為17、10、13，圖乙中DPQR為矩形。對(duì)照?qǐng)D乙，計(jì)算圖甲中六邊形ABCIGH的面積。
解：由圖甲，可求得：ED=
，EF=
，DF=
??? 由圖乙，根據(jù)勾股定理可求得：ED=
，EF=，DF=??? 圖乙中，S△DEF=S
矩形―S△DPE－S△EQF－S△DRF
???????????????? =4×3－
×4×1－×2×3－×3×1=5.5
根據(jù)上面的結(jié)論：S△DEF=S△AEH= S△FGI=S△BDC=5.5
六邊形ABCIGH的面積為：17+13+10+4×5.5=52
?
三、小試身手
?
園林小路，曲徑通幽。如圖4所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石鋪成。已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地??????? 平方米。
（參考答案：a+2b）
?????????????????????????????????????????????????
?
作者簡(jiǎn)介：宋毓彬，男，45歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理天地》、《語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》、《數(shù)理報(bào)》、《中學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)》、《小博士報(bào)》、《少年智力開(kāi)發(fā)報(bào)數(shù)學(xué)專頁(yè)》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類(lèi)文章80多篇。主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究。
| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |