三角形重心性質(zhì)定理
湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬
1．三角形重心性質(zhì)定理
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課本原題（人教八年級《數(shù)學》下冊習題19.2第16題）
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在△ABC中，BD、CE是邊AC、AB上的中線，BD與CE相交于O。BO與OD的長度有什么關(guān)系？BC邊上的中線是否一定過點O？為什么？
（提示：作BO中點M，CO的中點N。連接ED、EM、MN、ND）
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分析：三角形三條中線的交點是三角形的重心（第十九章課題學習《重心》）。這道習題要證明的結(jié)論是三角形重心的一個重要數(shù)學性質(zhì)：三角形的重心將三角形的每條中線都分成1∶2兩部分，其中重心到三角形某一頂點的距離是到該頂點對邊中點距離的2倍。
證法1：（根據(jù)課本上的提示證明）
取GA、GB中點M、N，連接MN、ND、DE、EM。（如圖1）
∵MN是△GAB的中位線，∴MN∥AB，MN=
AB又ED是△ACB的中位線，∴DE∥AB，DE=
AB∴DE∥MN，DE=MN，四邊形MNDE是平行四邊形
∴GM=GD，又AM=MG，則AG=2GD
同理可證：CG=2GF，BG=2GE
點評：證法1是利用中點構(gòu)造三角形中位線，從而得到平行四邊形，再利用平行四邊形性質(zhì)得到中線上三個線段之間的相等關(guān)系。
證法2：延長BE至F，使GF=GB，連接FC。
∵G是BF的中點，D是BC的中點
∴GD是△BFC的中位線，GD∥FC，GD=
FC由GD∥FC，AE=CE，易證△AEG≌△CEF
∴AG=FC，即GD=
AG點評：利用線段中點，還可以將與線段中點有關(guān)的線段倍長，構(gòu)造全等，從而利用全等三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)證明結(jié)論。
證法3：取EC中點M，連DM，利用平行線分線段成比例及E是AC中點可證得相同的結(jié)論。（證明過程略）
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2.三角形重心性質(zhì)定理的應用
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⑴求線段長
例1 如圖3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，點D是斜邊AB的中點，當G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于點E，若BC=6cm，則GE=?????? cm。
解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6?? ∴AB=BC=12，
D是斜邊AB的中點，∴CD=
AB=6G是Rt△ABC的重心，∴CG=
CD=4由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°
Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE=
CG=2（cm）⑵求面積
例2 在△ABC中，中線AD、BE相交于點O，若△BOD的面積等于5，求△ABC的面積。
解：∵O是△ABC的重心，
∴AO∶OD=2∶1
??? ∴S△AOB∶S△BOD=2∶1?? 即S△AOB=2 S△BOD=10
??? ∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15
??? 又AD是△ABC的中線
??? S△ABC=2 S△ABD=30。
練習：1.如圖5，△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心，如果AG=6，那么線段DG=??????? 。
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2.如圖6，在△ABC中，G是重心，點D是BC的中點，若△ABC的面積為6cm2，則△CGD的面積為??????? 。
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作者簡介：宋毓彬，男，45歲，中學數(shù)學高級教師。在《中學數(shù)學教學參考》、《中學生數(shù)學》、《數(shù)理天地》、《數(shù)理化學習》、《數(shù)理化解題研究》、《語數(shù)外學習》、《中學課程輔導》、《數(shù)學周報》、《數(shù)學輔導報》、《數(shù)理報》、《小博士報》、《少年智力開發(fā)報·數(shù)學周刊》等報刊發(fā)表教學輔導類文章80多篇。主要致力于初中數(shù)學中考及解題方法、技巧等教學方面的研究。
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