用好相似三角形中的對應高
──一道課本習題的變式探究
湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬
人教九年級數(shù)學下冊復習題27第13題是一道應用“相似三角形對應高的比等于相似比”進行求解的幾何問題。由此題生成的中考題和競賽題近幾年來頻頻出現(xiàn)，下面就這道習題的一般變式作系列探究。
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一、原題再現(xiàn)
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如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？
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分析：如圖1，EFGH為正方形，則EF∥BC，AK⊥EF，
設正方形邊長為x，△AEF的高可寫成AK=AD—KD=AD—EF=80—x。
由△AEF∽△ABC，
? 即
??解得x=48? 即正方形零件的邊長是48mm
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點評：在應用相似三角形的性質(zhì)解題時，同學們比較熟悉的性質(zhì)是對應角相等、對應邊成比例，而相似三角形中“對應高的比等于相似比”則不太熟悉。但在解決相似三角形的面積問題或內(nèi)接四邊形問題時，我們一定要注意用好相似三角形中的對應高。
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二、拓展一：三角形內(nèi)接矩形長寬間的數(shù)量關(guān)系探究
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例1 如圖所示，某校計劃將一塊形狀為銳角△ABC的空地進行生態(tài)環(huán)境改造，已知△ABC的邊BC長為120m，高AD長80m，學校計劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分，現(xiàn)計劃在△AHG上種草，在△BHE、△GFC上種花。問：當FG長為多少米時，種草的面積與種花的面積相等？（
2009年鄂州市中考題）
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分析：如圖2，四邊形EFGH為矩形，則GH∥BC，AK⊥GH，
設FG=x，AK=AD－FG=80—x
由△AHG∽△ABC，
? 即
，HG=120－
x，又BE+FC=BC－EF=BC—HG=x由S△AHG=S△BHE +S△GFC，
（120－x）（80—x）=·x·x? 解得x=40即FG長40米時，種草的面積與種花的面積相等。
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點評：利用相似三角形對應高的比等于相似比，將HG用GF的式子表示出來，是解題的關(guān)鍵。
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三、拓展二：三角形內(nèi)接矩形面積的最值問題探究
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例2 BC=100米，高AH=100米。某單位要修建一座底面是矩形DEFG的大樓，當這座大樓的地基面積最大時，這個矩形的長和寬各是多少？有一塊三角形土地，它的底邊
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分析：如圖3，四邊形EFGD為矩形，則GD∥BC，AK⊥GD，
設GF=x，則AK=AH—GF=100—x
由△ADG∽△ABC，
? 即
DG=100—x，S四邊形DEFG=（100－x）x= —（x—50）2+2500
x=50時，S四邊形DEFG最大，此時DG=100—x=50，
即矩形長寬均為50米時地基面積最大。
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點評：三角形形內(nèi)接矩形的面積與矩形的長寬有關(guān)。借助相似三角形中邊與高的關(guān)系，將矩形的長與寬聯(lián)系起來，找出長與寬之間的數(shù)量關(guān)系，將面積表示成長或?qū)挼亩魏瘮?shù)式，進而可得到面積最大的限制條件。
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四、拓展三：由一般到特殊的探究
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例3 如圖4，面積為a
－c的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC，其中a、b、c為整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則
的值等于?????? 。（2006年全國初中數(shù)學競賽）
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分析：設正方形DEFG的邊長為x，正三角形ABC的邊長為m。作AH⊥BC交DG于K。
正三角形ABC中，AH=
m，則AK=AH—GF=m—x由S△ABC=1，
·m·m=1，m2=
由△ADG∽△ABC，
? 即
，x=（2—3）mx2=（2
—3）2m2=28—48?? 即a－c=28—48，∴a=28，b=3，c=48，
=
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點評：已知三角形的面積，尋求正三角形與內(nèi)接正方形的邊長關(guān)系，進而得到面積關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵。但解決本題的如口仍然是借助相似三角形對應高的比將三角形的邊長與正方形的邊長聯(lián)系起來。
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五、拓展四：三角形內(nèi)接矩形分割的各部分間面積關(guān)系探究
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例4（武漢市初中數(shù)學競賽初賽試題）如圖5，點D、E在BC上，點F、G分別在AC、AB上，且四邊形DEFG為正方形。如果S△CFE=S△AGF=1，S△BDG=3。那么S△ABC等于（?? ）
A．6???? B．7 ????C．8????? D．9
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分析：設正方形DEFG的邊長為x。
作AH⊥BC于H，交GF于K。則AK⊥GF。
由S△CFE=S△AGF=1，S△BDG=3。
則EC=
，BD=
，AK=，BC=EC+BD+DE=x+
。由△AGF∽△ABC，
? 即
，x4=16，x=2。∴S△ABC=1+1+3+22=9。
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點評：要求S△ABC關(guān)鍵是要求出正方形的面積。正方形的邊長與三個三角形均相關(guān)，通過相似三角形的對應高將與正方形邊長有關(guān)線段聯(lián)系起來，從而求出正方形的邊長，問題就得到解決。
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作者簡介：宋毓彬，男，45歲，中學數(shù)學高級教師。在《中學數(shù)學教學參考》、《數(shù)理天地》、《中學生數(shù)學》、《數(shù)理化學習》、《數(shù)理化解題研究》、《中學課程輔導》、《語數(shù)外學習》、《數(shù)學周報》、《數(shù)學輔導報》、《數(shù)理報》、《少年智力開發(fā)報》、《學習報》、《小博士報》、《課程導報》等報刊發(fā)表教學輔導類文章80多篇。主要致力于初中數(shù)學中考及解題方法、技巧等教學方面的研究。
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