造橋選址問題的拓展
湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬
利用平移變換進行造橋選址，是平移變換的一個重要應用。下面就課本中一道習題，加以拓展探究，我們可發(fā)現(xiàn)其一般規(guī)律。
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一、原題再現(xiàn)
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如圖1，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）。（人教課標七年級下冊2007年第二版37頁第7題）
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分析：由于河岸寬度是固定的，造的橋要與河垂直，因此路徑AMNB中的MN的長度是固定的。
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我們可以將點A沿與河垂直的方向平移MN的距離到A1，那么為了使AMNB最短，只需A1B最短。根據(jù)兩點之間距離最短，連接A1B，交河岸于點N，在此處造橋MN，所得路徑AMNB就是最短路徑。如圖2。
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證明：如圖3，如果在不同于MN的位置造橋M1N1。由于M1N1=MN=AA1；又根據(jù)“兩點之間，線段最短”?？芍珹N1+N1B＞A1N+NB。
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所以，路徑AMNB要短于AM1N1B。
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二、拓展應用
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拓展1：如圖4，如果A、B兩地之間有兩條平行的河，我們要建的橋都是與河岸垂直的。我們如何找到這個最短的距離呢？
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方法1：仿照上例，可以將點A沿與河垂直的方向平移兩個河寬分別到到A1、A2，路徑中兩座橋的長度是固定的。為了使路徑最短，只要A2B最短。連接A2B，交河流2河岸于N，在此處造橋MN；連接A1M，交河流1河岸于P，在此處造橋PQ。所得路徑AQPMNB最短。
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方法2：此題還可以用以下方法來確定建橋位置。
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如圖6，將點A沿與第一條河流垂直的方向平移一個河寬到A
1，將B沿與第二條河垂直的方向平移一個河寬到B1，連接A1B1與兩條河分別相交于N、P，在N、P兩處，分別建橋MN、PQ，所得路徑AQPMNB最短。
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拓展2：如圖7，如果A、B之間有三條平行的河流呢？
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方法1：仿照拓展二方法1，將點A沿與河垂直的方向平移S三個河寬分別到到A1、A2、A3，路徑中三座橋的長度是固定的。為了使路徑最短，只要A
3B最短。
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連接A3B，交河流3于N，在此處造橋MN；連接A2N，交河流2于P，在此處造橋PQ；連接A1Q，交河流1于R，在此處造橋RS。所得路徑ASRQPMNB最短。
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方法2：此處還可以先將A沿與河流1河岸垂直的方向平移兩個單位到A1、A2，再將B沿與河流3河岸垂直的方向平移一個河寬到B1；或先將A沿與河岸垂直的方向平移1個單位到A1，再將B沿與河岸平移2一個河寬到B1、B2，來選擇修橋位置。（請同學們自己畫出圖形。）
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拓展3：如圖
9，如果在上述條件不變的情況下，兩條河不平行，又該如何建橋？
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方法1：如圖10，先將點A沿與河流1河岸垂直的方向平移一個河寬到A1，再沿與河流2河岸垂直的方向平移一河寬到A2，連接A2B，交河流2河岸于N，此處建橋MN；連接A1M，交河流1于P，在此處建橋PQ。所得路徑AQPMNB最短。
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方法2：也可以將A沿與河流1垂直的方向平移1個河寬，得到A1，再將B沿與河流2河岸垂直的方向平移1個河寬得到B1，連接A1B1與河流1、河流2分別相交于N、P，分別作橋MN、PQ。所得路徑AQPNMB最短。
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由以上拓展，我們不難體會到，造橋選址問題，要使所得到的路徑最短，就是要通過平移變換，使除橋長不變外所得到的其他路徑經平移后在一條直線上。
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作者簡介：宋毓彬，男，1966年4月出生。中學數(shù)學高級教師。先后在《中學數(shù)學教學參考》、《中學生數(shù)學》、《數(shù)理天地》、《語數(shù)外學習》、〈數(shù)理化學習〉、〈數(shù)理化解題研究〉、〈中學課程輔導〉、〈數(shù)理報〉、〈學習報〉、〈數(shù)學周報〉、〈數(shù)學輔導報〉、〈小博士報〉、〈數(shù)字世界報〉發(fā)表初中數(shù)學輔導類文章80多篇。致力于初中數(shù)學教學與中考方面的研究。
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