何時(shí)菱形面積最大
湖北省安陸市洑水初中 王官清
菱形是特殊的平行四邊形，它具有很多特殊性。在研究其邊、角、對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)時(shí)，我們還經(jīng)常關(guān)注其面積。在引導(dǎo)學(xué)生如何在矩形內(nèi)作出面積最大的菱形問(wèn)題時(shí)，學(xué)生由自負(fù)到疑惑到自信，實(shí)際上反映了學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)由膚淺到深刻的過(guò)程。下面是課堂部分實(shí)錄。
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問(wèn)題的提出：
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有一塊長(zhǎng)4m和寬3m的矩形土地，要在矩形土地上開(kāi)辟一個(gè)最大的菱形花圃，請(qǐng)你試畫(huà)出這個(gè)圖形，并求出這個(gè)花圃的面積是多少。
問(wèn)題的探究：
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課堂上提出這個(gè)問(wèn)題后，同學(xué)們興高采烈，躍躍欲試，拿起筆在草稿紙上畫(huà)圖、分析、計(jì)算，不時(shí)還互相討論。巡視課堂，發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)首先想到的是：作矩形的中點(diǎn)四邊形，即取矩形ABDC四邊的中點(diǎn)E、F、G、H，順次連接成四邊形，得到菱形EFGH，如圖1. 根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式（菱形面積等于其對(duì)角線(xiàn)乘積的一半），不難計(jì)算出這個(gè)菱形的面積是6平方米（為矩形面積的一半）。大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為這就是此題的答案。
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教師點(diǎn)撥
：上述菱形的面積一定最大嗎？
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大多數(shù)學(xué)生聽(tīng)到提出的這個(gè)問(wèn)題，一開(kāi)始瞪大眼睛不解地看著我，然后又開(kāi)始觀察圖形進(jìn)行思考，動(dòng)筆畫(huà)圖，分析計(jì)算。
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經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的思考，一個(gè)學(xué)生提出了一個(gè)新的想法：如圖2，作特殊的菱形（正方形）EFGH， 其邊長(zhǎng)為矩形的寬3
，易計(jì)算其面積為9平方米。這個(gè)特殊的菱形的面積就比圖1中的菱形的面積大。這個(gè)方案也合乎題目要求。得到了大多數(shù)同學(xué)的認(rèn)可。
教師趁熱打鐵
：也許還能夠作出比圖2中菱形面積更大的菱形，我們不妨再深入的思考一下。
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有的學(xué)生認(rèn)為：不可能再有比圖2中菱形面積更大的情況了?。▽W(xué)生之間的討論和爭(zhēng)論開(kāi)始熱烈起來(lái)）
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師：我們知道，菱形的面積等于菱形的對(duì)角線(xiàn)的積的一半。圖1 中菱形的對(duì)角線(xiàn)分別是4m和3m，圖2中菱形的對(duì)角線(xiàn)相等EG=FH=
。?
那么在矩形中還有不有可能作出的菱形的對(duì)角線(xiàn)比以上兩種情況更大的呢？
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學(xué)生：怎樣想辦法把圖1 中的菱形的對(duì)角線(xiàn)EG、FH變長(zhǎng)一些？
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經(jīng)過(guò)思考，終于有學(xué)生自信的站起來(lái)，提出了如下新的想法：把圖1中兩條對(duì)角線(xiàn)同時(shí)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，對(duì)角線(xiàn)FH的長(zhǎng)度逐漸增大，EG也逐漸增大，當(dāng)菱形的對(duì)角線(xiàn)FH與矩形的對(duì)角線(xiàn)AD重合時(shí)，如圖3，對(duì)角線(xiàn)FH為最長(zhǎng)了. 這時(shí)菱形EFGH的面積可以認(rèn)為是最大的情況。
這位同學(xué)的想法得到全班同學(xué)的掌聲。老師也贊許的微笑點(diǎn)頭。
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師：這位同學(xué)的想法值得肯定，他用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題非常好。
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事實(shí)上，上述問(wèn)題中，我們可以發(fā)現(xiàn)菱形的任意一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度
的取值范圍是
，我們可以通過(guò)幾何畫(huà)板演示給同學(xué)們觀察。圖1中，是菱形面積最小時(shí)的情況，當(dāng)菱形兩條對(duì)角線(xiàn)從圖1位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，菱形面積達(dá)到最大。?
問(wèn)題的解決：
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1. 圖3中菱形的面積的2種求法：
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方法1
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如圖3，菱形對(duì)角線(xiàn)FH與矩形對(duì)角線(xiàn)AD重合，
所以
，其中AB是個(gè)定值，考慮到
，則
，設(shè)FG的長(zhǎng)為
，則BG=
，在直角三角形FGB中，根據(jù)勾股定理，有
，
，
(
)。?
方法2
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，根據(jù)勾股定理得FH=5m， 由方法1知FG=
， 在直角三角形ABG中，AO=
， AG=， ∴
，∴.
，所以上述問(wèn)題的答案應(yīng)該是：菱形花圃的最大面積是
。?
2. 圖3中菱形面積一定最大嗎
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為什么圖3 是菱形面積最大的情況？下面給予簡(jiǎn)略證明。
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矩形內(nèi)接菱形根據(jù)菱形頂點(diǎn)在矩形上位置的情況分為兩類(lèi)情形：
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情形1 ??菱形有兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的同一邊上，如圖3-1
假設(shè)此時(shí)菱形的面積不小于圖3中菱形的面積，即
，?
過(guò)F作FM⊥AC于M，過(guò)H作HN⊥BD于N， 則HN=FM=AB=3。
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∴
，∴
∵FG=HG，∴
，∴
，即
，于是
，即FN≥4 . 結(jié)合圖3-1， 顯然這與FN<4矛盾。所以假設(shè)
不成立。?
情形2. 菱形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的四條邊上，如圖3-2.
作以
BC為對(duì)角線(xiàn)的菱形MBNC， 易證四邊形AFOE和四邊形ABOM四點(diǎn)共圓，∴∠OEF=∠OAB=∠OMB，∴
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。∵矩形ABCD上任意兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段以對(duì)角線(xiàn)最長(zhǎng)，∴
， 
，就是
， ∴
，∴
。∴
。?
故直角三角形EBO的面積大于直角三角形EFO的面積，從而菱形BNCM的面積大于菱形EFGH的面積。
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綜合上述兩種情況，可知矩形ABCD的內(nèi)接菱形的面積最大為
。?
教學(xué)反思：
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1.許多學(xué)生作出圖1的菱形后就以為大功告成，這是沒(méi)有認(rèn)真分析，深入探究造成的。平時(shí)教學(xué)應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成深入思考認(rèn)真探究問(wèn)題的習(xí)慣，提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力。
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2.學(xué)生對(duì)為什么圖3的情況是菱形面積最大的情形，關(guān)注不夠，說(shuō)明學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考缺乏應(yīng)有的深刻性。這也是數(shù)學(xué)教師教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該特別注意的問(wèn)題。
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