2012中考數(shù)學考點 平方差公式

    用平方差公式能迅速準確地算出復雜難算題的答案，現(xiàn)用下列例題揭示利用平方差公式解答計算題的方法和技巧，希望對大家能有所啟發(fā)和幫助。
    例1　已知：a+3b=-2,求a+2a-6b-9b的值。
    解：a+2a-6b-9b＝a-9b+2a-6b＝（a-9b）+（2a-6b）＝（a+3b)(a-3b)+2(a-3b)=(a-3b)(a+3b+2)=(a-3b)(-2+2)=0。
    如果在解題前不認真分析，不對算式進行科學組合，就很難找到用平方差公式和提取公因式解題的突破口，可見：解題前的觀察分析對解題非常重要。
    例2　計算。
    解：分子＝2001－22001－1999＝2001－22001－2001+2＝2001（2001－2）－（2001－2）＝（2001－2）（2001－1），
    分母＝2001+2001－2002＝2001+2001－2001－1＝2001（2001+1）－（2001+1）＝（2001+1）（2001－1）。
    所以就有：＝＝＝。
    如果在解題前不對算式進行認真仔細地觀察，就很難發(fā)現(xiàn)“1999＝2001－2，2002＝2001+1”，就更難發(fā)現(xiàn)分子中的公因式是“2001－2”，分母中的公因式是“2001+1”，“2001”是分子和分母中共同的公因式，由于找到了分子和分母中的公因式，才利用提取公因式法和平方差公式順利的得出了此題的準確答案。
    例3　計算（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）。
    解法1：（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）＝（2－1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）（2－1）＝（2－1）（2+1）（2+1）（2+1）（2－1）＝（2－1）（2+1）（2+1）（2－1）＝（2－1）（2+1）（2－1）＝（2－1）（2－1）＝2－1＝65535，
    因為：2＝22＝256256＝65536，2－1＝65536－1＝65535，
    解法2：2＝22＝4，2＝22＝44＝16，2＝22＝1616＝256，
    所以（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）＝3517257＝65535。
    解法1的解題者，由于在解題前認真觀察分析清楚了算式中的數(shù)據(jù)規(guī)律，先給算式乘以（2－1），后給算式除以（2－1），雖然沒有改變算式的值，但乘在算式前面的（2—1）和（2+1）卻構成了平方差公式，這樣由前向后逐個處理，就可順利得到命題者所要的準確結果“2－1”，在算式最后除以“2－1”，實質是除以1，足見解法1中的解題者是多么的聰明。
    解法2雖然一氣呵成，直接算出了本題的準確答案。但卻沒有達到編者的意圖，如果在計算過程中稍有不慎，就會得出錯誤的結果。其實本題命題者的本意是考查學生運用平方差公式解題的本領，只要解題者解出“2－1”就行，而并不是要求解題者能算出“65535”。因為該題面向的是八年級學生。
    例4　計算100－99+98－97+96－95+…+6－5+4－3+2－1。
    解：100－99＝（100+99）（100－99）＝199，
    98－97＝（98+97）（98－97）＝195，
    96－95＝（96+95）（96－95）＝191，
    94－93＝（94+93）（94－93）＝187，
    92－91＝（92+91）（92－91）＝183，
    10－9＝（10+9）（10－9）＝19，
    8－7＝（8+7）（8－7）＝15，
    6－5＝（6+5）（6－5）＝11，
    4－3＝（4+3）（4－3）＝7，
    2－1＝（2+1）（2－1）＝3。
    觀察上述用平方差公式算得的結果可得，199－4＝195，195－4＝191，191－4＝187，15－4＝11，11－4＝7，7－4＝3.。這樣就有：
    100－99+98－97+96－95+…+6－5+4－3+2－1＝199+195+191+187+183+…+19+15+11+7+3。
    觀察“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”可發(fā)現(xiàn)：“199+3＝202，195+7＝202，191+11＝202，187+15＝202，183+19＝202”。只要能探究明白“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”中能加成多少個202，問題就會很快解決。只好用下述列表的方法探究“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”中究竟能加成多少個202：
    

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
199	195	191	187	183	197	175	171	167	163	159	155	151	147	143	139	135	131	127	123	119	115	111	107	103
3	7	11	15	19	23	27	31	35	39	43	47	51	55	59	63	67	71	75	79	83	87	91	95	99
202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202

    由上表可以看出“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”中的數(shù)據(jù)，共能加出25個202，20225＝5050。
    所以就有：
    100－99+98－97+96－95+…+6－5+4－3+2－1
    ＝199+195+191+187+183+…+19+15+11+7+3
    ＝20225
    ＝5050。
    您還有比上述算法更快捷準確的算法嗎？請試試看！
     
    一道難住初中物理教師的數(shù)學計算題
     
    女兒向爸爸請教如下一道數(shù)學計算題，難住了給她教物理的爸爸，她的爸爸只好向數(shù)學專家請教，最終解決了問題，現(xiàn)共享于后，以求共同提高。
    已知6x－9x+mx+n能被6x-x+4整除，求m和n的值。
    解：這是一道初中學生還沒有學的多項式相除問題，具體解法如下：
                            
    由上述計算結果可得：
    （m－4)x－x=0，
    m－4－＝0，
    m－＝0，
    m==，
    n－（－）＝0，
    n+＝0，
    n=－=－，
    您還有比這更妙的解法嗎？請賜教！
    
    

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