2012中考數(shù)學(xué)考點(diǎn) 方程組中的消元方法

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    ?
    四川廣安市廣安區(qū)前鋒中學(xué) 劉華
    二元一次方程組中的數(shù)學(xué)思想，主要是指數(shù)學(xué)的“消元”思想，即：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這樣就可以先解出一個(gè)未知數(shù)，然后再設(shè)法求另一個(gè)未知數(shù)。這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。
    具體轉(zhuǎn)化方法是運(yùn)用“代入消元法”或“加減消元法”，達(dá)到把二元一次方程組中的二個(gè)未知數(shù)消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程，從而實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而解決問(wèn)題。下面舉例說(shuō)明：
    ?一、利用代入法快速求值：?
    新人教版7年級(jí)下冊(cè)105頁(yè)有這樣的描述：在二元一次方程組的一個(gè)方程中，把一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)代入法。
    借此消元思想，我們可以快速地解決許多求定值的問(wèn)題。?
    例1.若3x-4y=0，且xy≠0，則的值等于
    ???? 。
    ?　　解. 由3x-4y=0得：3x=4y，把3x=4y代入 得
    ?　　????=?=
    
    ???? 點(diǎn)評(píng)：此題巧妙借助代入法解決求定值問(wèn)題。
    例2. 已知x²-2x-5=0,將下列式子先化簡(jiǎn)再求值：（x-1）²
    +(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)
    ?解：原式=x
    ²-2x+1+x²-9+x²-x-3x+3
    =3x²-6x-5
    =3(x²-2x)-5
    ∵?x²-2x-5=0
    ∴?x²-2x=5
    ∴?原式=3×5-5=10
    
    點(diǎn)評(píng)：利用“整體思想”將所給條件x²-2x-5=0變形為x²-2x=5，然后整體代入化簡(jiǎn)后的式子3(x²-2x)-5中，可收到“事半功倍”的效果。若先解方程x²-2x-5=0，得x=1±√6，再分別代入3x²-6x-5中求值，則沒(méi)有抓住題目特征進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。
    二、利用加減法快速求值：
    新人教版7年級(jí)下冊(cè)108頁(yè)有這樣的描述：兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)加減法。
    合理利用此思想，在求值題中同樣可以收到事半功倍的效果。
    例3. 若4x+5y=10，且5x+4y=8，則??????。
    解：由題意得：
    由 ① + ② 得：9x+9y=18??? 即：x + y= 2
    由 ② － ①得：x － y=-2
    所以?-1
    點(diǎn)評(píng)：若直接把4x+5y=10和5x+4y=8組成方程組，求出方程組的解，再把解代入求值。這樣運(yùn)算量不僅大，而且容易出錯(cuò)。
    如果認(rèn)真分析所求值式，可考慮利用加減法很快求得x+y和x-y的值，于是此題迎刃而解。
    三、化“未知”為“已知”
    例4.已知?，則x：y：z=????????? ；
    解：將方程組?中
    由② － ①?得：y－3z=0
    ????????????? ?∴ y=3z??? ③
    把 ③ 代入 ② 中得：?x = 2z
    ?????? ∴?x：y：z=2z:3z:z= 2：3：1
    點(diǎn)評(píng)：此方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，要解決該問(wèn)題，就需要大膽創(chuàng)新，我們初一學(xué)生只學(xué)習(xí)了解二元一次方程組，根據(jù)化“未知”為“已知”的“消元”思想，就創(chuàng)造性地把它看作是關(guān)于x、y的二元一次方程組，從而找到解決問(wèn)題的突破口。
    總之，教師若能在平時(shí)教學(xué)中合理展示數(shù)學(xué)思想和具有代表性的數(shù)學(xué)方法，既可以讓學(xué)生明晰數(shù)學(xué)知識(shí)之間的脈絡(luò)和聯(lián)系，同時(shí)還有利于提高學(xué)生的解決問(wèn)題的能力。
    
    

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