構(gòu)造斜邊上的中線與高解決斜邊的最小值問(wèn)題
湖北省云夢(mèng)縣沙河中學(xué) 許 昌
中考中經(jīng)?？疾熘苯侨切涡边叺膬蓷l重要的線段，一是斜邊上的高，另一個(gè)是斜邊上的中線，從形狀上來(lái)說(shuō)，直角三角形斜邊上的高把直角三角形分得兩個(gè)小直角三角形，而斜邊上的中線則把它分為兩個(gè)小等腰三角形；從長(zhǎng)度上來(lái)說(shuō)，直角三角形斜邊上的高是直角頂點(diǎn)到斜邊上所有點(diǎn)之中距離最短的，其長(zhǎng)度可以用兩直角邊乘積除以斜邊求得；而斜邊上的中線等于斜邊的一半。
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本文從構(gòu)造的角度，說(shuō)明當(dāng)直角三角形斜邊上的高與中線相結(jié)合時(shí)，如何解決斜邊的最小值問(wèn)題。
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案例一：（2006貴陽(yáng)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線與
軸相交于點(diǎn)A，與
軸相交于點(diǎn)B。?
（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度在發(fā)生變化，請(qǐng)寫出線段AB長(zhǎng)度的最小值，并說(shuō)明理由；
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（2）在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q、O、A、P為頂點(diǎn)的四邊形時(shí)平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
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【分析】：本題問(wèn)題（1）中,要求解線段AB的最小值，而A、B點(diǎn)都隨切線的改變而改變，不好直接求其最值，而在Rt⊿OAB中，線段AB為斜邊，取AB的中點(diǎn)C，連結(jié)OC，這樣就利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=
AB，求出OC的最小值而就可以解決斜邊AB的最小值，又因?yàn)椤袿與邊
相切，連結(jié)O與切點(diǎn)P，所以半徑OP⊥AB, 由圖可以知，Rt⊿OAB中，斜邊上的中線OC??? 斜邊上的高OP, 當(dāng)OC＝OP時(shí)，OC最短，即AB最短，此時(shí)AB＝4。?
案例二：（常州市2007年）如圖，在
中，
，
，
，經(jīng)過(guò)點(diǎn)
且與邊相切的動(dòng)圓與
分別相交于點(diǎn)
，則線段
長(zhǎng)度的最小值是（??? ）?
A．
??? B．
???? C．
?????? D．
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【分析】：本題中，由
，，，可知∠ACB=90°，要求解線段PQ的最小值，而P、Q點(diǎn)都隨動(dòng)圓在改變，不好直接求其最值，而在Rt⊿PQC中，線段PQ為斜邊，取PQ的中點(diǎn)O（O點(diǎn)也是動(dòng)圓的圓心），連結(jié)OC,這樣就利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=QP，又因?yàn)椤袿與邊相切，連結(jié)O與切點(diǎn)E，所以半徑OE⊥AB,OE=OC=QP，即OE+OC=QP，求出OE+OC的最小值而就可以解決斜邊PQ的最小值，OE+OC的最小值就是在Rt⊿ABC中C點(diǎn)到AB的距離,也就是Rt⊿ABC斜邊上的高CF。即PQ長(zhǎng)度的最小值等于6×8÷10=4.8。?
??? 從上面兩個(gè)案例我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)求直角三角形斜邊的最小值問(wèn)題時(shí)，我們通常是構(gòu)造出斜邊上的中線，然后把求斜邊的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求斜邊上中線的最小值問(wèn)題，而往往斜邊上中線的最小值又與斜邊上的高有關(guān)，最后由確定斜邊上高來(lái)求出斜邊的最值問(wèn)題。
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