2012中考數(shù)學(xué)考點 完全平方公式

    解析完全平方公式
    ?
    四川省營山金華希望小學(xué)校 屠欣
    
    完全平方公式是進行代數(shù)運算與變形的重要的知識基礎(chǔ)。該知識點重點是對完全平方公式的熟記及應(yīng)用．難點是對公式特征的理解 (如對公式中積的一次項系數(shù)的理解)．我在教學(xué)完全平方公式后反思學(xué)生中常見錯誤有：①
    學(xué)生難于跳出原有的定式思維，如典型錯誤；?。ㄥe因：在公式的基礎(chǔ)上類推，隨意“創(chuàng)造”）②混淆公式與；③運算結(jié)果中符號錯誤；④變式應(yīng)用難于掌握。現(xiàn)我結(jié)合教授完全平方公式的實踐經(jīng)驗對完全平方公式作如下解析：
    ?
    　　一、理解公式左右邊特征
    ?
    　　（一）學(xué)會推導(dǎo)公式（這兩個公式是根據(jù)乘方的意義與多項式的乘法法則得到的），真實體會隨意“創(chuàng)造”的不正確性；
    ?
    　?。ǘW(xué)會用文字概述公式的含義：
    ?
    　　兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．
    ?
    　　與
    都叫做完全平方公式．為了區(qū)別，我們把前者叫做兩數(shù)和的完全平方公式，后者叫做兩數(shù)差的完全平方公式．
    ?
    　?。ㄈ┻@兩個公式的結(jié)構(gòu)特征是：
    ?
    　　1、左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上或減去這兩項乘積的2倍；
    ?
    　　2、左邊兩項符號相同時，右邊各項全用“＋”號連接；左邊兩項符號相反時，右邊平方項用“＋”號連接后再“－”兩項乘積的2倍（注：這里說項時未包括其符號在內(nèi)）；
    ?
    　　3、公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)），也可以表示單項式或多項式等數(shù)學(xué)式．
    ?
    　?。ㄋ模﹥蓚€公式的統(tǒng)一：
    ?
    　　因為
    ?
    　　所以兩個公式實際上可以看成一個公式：兩數(shù)和的完全平方公式。這樣可以既可以防止公式的混淆又杜絕了運算符號的出錯。
    ?
    　　二、把握運用公式四步曲：
    ?
    　　1、“察”：計算時，要先觀察題目特點是否符合公式的條件，若不符合，應(yīng)先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進行計算，若不能變?yōu)榉瞎綏l件的形式，則應(yīng)運用相應(yīng)乘法法則進行計算．
    ?
    　　2、“導(dǎo)”：正確地選用完全平方公式，關(guān)鍵是確定式子中
    a、b分別表示什么數(shù)或式．
    ?
    　　3、“算”：注意每步的運算依據(jù)，即各個環(huán)節(jié)的算理。
    ?
    　　4、“驗”：完成運算后學(xué)會檢驗，既回過頭來再反思每步的計算依據(jù)和符號等各方面是否正確無誤，又可通過多項式的乘法法則進行驗算，確保萬無一失。
    ?
    　　三、掌握運用公式常規(guī)四變
    ?
    　　（一）、變符號：
    ?
    　　例1：運用完全平方公式計算：
    ?
    　?。?/span>1）
    　?。?/span>2）　
    ?
    　　
    　　分析：本例改變了公式中a、b的符號，處理方法之一：把兩式分別變形為
    再用公式計算（反思得：）；方法二：把兩式分別變形為：后直接用公式計算；方法三：把兩式分別變形為：后直接用公式計算（此法是在把兩個公式統(tǒng)一的基礎(chǔ)上進行，易于理解不會混淆）；
    ?
    　?。ǘ?、變項數(shù)：
    ?
    　　例2：計算：
    ?
    　　分析：完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘，而本例中出現(xiàn)了三項，故應(yīng)考慮將其中兩項結(jié)合運用整體思想看成一項，從而化解矛盾。所以
    在運用公式時， ?可先變形為或或者，再進行計算．
    ?
    　　（三）、變結(jié)構(gòu)
    ?
    　　例3：運用公式計算：
    ?
    　?。?/span>1）（x＋y）·（2x＋2y）；
    ?
    　?。?/span>2）（a
    ＋b）·（－a－b）；
    ?
    　?。?/span>3）（a－b）·（b
    －a）
    ?
    　　分析；本例中所給的均是二項式乘以二項式，表面看外觀結(jié)構(gòu)不符合公式特征，但仔細(xì)觀察易發(fā)現(xiàn)，只要將其中一個因式作適當(dāng)變形就可以了，即
    ?
    　?。?/span>1）（x＋
    y）·（2x+2y）=2（x＋y）?；
    ?
    　?。?/span>2
    ）（a＋b）·（－a－b）=－（a＋b）?；
    ?
    　　（3）（a－b）·（b－a）=－（a－b）?
    ?
    　?。ㄋ模?、簡便運算
    ?
    　　例4：計算：（1）999^2???????? （2
    ）100.1²
    ?
    分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成兩個數(shù)的和或差，從而運用完全平方公式計算。即：（1
    ）。
    ?
    　　四、學(xué)會公式運用中三拓展
    ?
    　　1、公式的混用
    ?
    　　例
    5：計算：?。?/span>l）（x+y+z）（x+y-z）　?。?/span>2）（2x-y+3z）（y-3z-2x）
    ?
    　　分析：此例是三項式乘以三項式，特點是：有些項相同，另外的項互為相反數(shù)。故可考慮把相同的項和互為相反數(shù)的項分別結(jié)合構(gòu)造成平方差公式計算后，再運用完全平方公式等計算。即：（1）（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）
    +z] [（x+y）-z]=…
    ?
    　?。?/span>2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）
    =[2x-（y-3z）][（2x +（y-3z）]=…
    ?
    2、公式的變形：
    ?
    
    ?
    
    ?
    　　熟悉完全平方公式的變形式，是相關(guān)整體代換求知值的關(guān)鍵。
    ?
    　　例6
    ：已知實數(shù)a、b滿足（a＋b）²=10，ab=1。求下列各式的值：
    ?
    　?。?/span>
    1）a²+b²；??????? （2）（a－b）²
    ?
    　　分析：此例是典型的整式求值問題，若按常規(guī)思維把
    a、b的值分別求出來，非常困難；仔細(xì)探究易把這些條件同完全平方公式結(jié)合起來，運用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑。即：（1）a²＋b²=（a＋b）²－2ab=…
    ?
    　　（2）（a－b）²=（
    a＋b）²－4ab=…
    ?
    　　3、公式的逆用：
    ?
    　　例7：計算：
    
    ?
    　　分析：本題若直接運用乘法公式和法則較繁瑣，仔細(xì)分析可發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)恰似完全平方公式的右邊，不妨把公式倒過來用可得：==4
    ?
    　　總之，在學(xué)習(xí)完全平方公式時關(guān)鍵是記住公式形式，把握公式特征，運用合理的算法，注重勤練習(xí)，適時積累典例，定能收到良好的效果。　
    
    

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