2012中考數(shù)學(xué)考點 梯形中的對角線三角形面積

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    梯形中的對角線三角形面積揭秘
    天津市武清區(qū)城關(guān)鎮(zhèn)中學(xué) 郭春港
    
    梯形的對角線三角形,是指梯形中由邊和對角線圍成的三角形. 那么,一個梯形中,由兩對角線和邊圍成的三角形共有八個,它們具有如下性質(zhì):當(dāng)?shù)住⒏咭欢〞r,梯形的對角線三角形面積不變.即,只要梯形的兩底和高確定了,不管它的形狀如何變化,各對角線三角形的面積都不會改變.
    如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC、BD相交于點O.設(shè)AD=,BC=,梯形的高為.
    
    我們以這個梯形ABCD為例,將其對角線三角形分成兩組來討論.
    第一組:以梯形兩邊和一條對角線圍成的三角形,圖中有△ADB、△DAC、△ABC、△DBC.
    其中,,.
    即這四個三角形面積只和底邊和高有關(guān),不隨形狀的改變而變化.
    第二組:以梯形一邊和兩條對角線圍成的三角形,圖中有△ABO、△BCO、△CDO、△DAO.
    在△ABO、△DAO中,
    ∵AD∥BC,∴DO∶BO=AD∶BC=.
    ,
    ,
    .
    .
    同樣方法可推出:
    ,.
    可見,這四個三角形的面積也只與底邊和高有關(guān),且.
    綜上所述,命題即可得證.
    
    
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