解決數(shù)學問題的化歸策略
湖北省隨州市曾都區(qū)草店中學 王厚軍 李華榮
在解決某些數(shù)學問題時，我們常采用轉(zhuǎn)化手段，將待解決的問題歸結(jié)為相對容易解決或已有固定解決程式的另一問題，通過對這一問題的解決，得到原問題的解答。這種處理問題的方法就是化歸。它是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱，是解決數(shù)學問題的一般思想方法。選擇恰當?shù)霓D(zhuǎn)化手段進行正確有效的化歸是解決問題的關(guān)鍵。這里介紹幾種常用的化歸策略。
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一、尋找恰當?shù)挠成洌▽P(guān)系）實現(xiàn)化歸
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數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系有許多是映射。利用映射，可將待解決的問題轉(zhuǎn)化為另一問題。
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1、平面上的點與有序?qū)崝?shù)對集合的映射
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笛卡爾通過建立坐標系，確定了平面上的點與有序?qū)崝?shù)對的一一對應關(guān)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，創(chuàng)立了解釋幾何。由此我們可以把判斷點P（6，3）是否在拋物線
上，變成判斷
是否是方程的解；求直線
與雙曲線
交點問題，變成求方程組
解的問題。?
例1、已知：關(guān)于x的一元二次方程
的一個根為
，且二次函數(shù)
的對稱軸是直線
，則拋物線的頂點坐標為??????? ?
分析??? 根據(jù)方程與函數(shù)的對應關(guān)系可知：方程
的一個根為，那么，函數(shù)當自變量時，函數(shù)值
???? 即點（2，3）在拋物線上；又因為拋物線的對稱軸是直線，則（2，3）為拋物線的頂點。?
2、代換。變量替換、換元、增量替換、等代換都是特殊的映射。
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例2、若a、b為互不相等的實數(shù)，且
，
，則
的值為??????? ?
分析：用變量x替換a、b。即根據(jù)條件的特殊結(jié)構(gòu)，由方程解的定義可知：a、b是方程
的兩個不等實根。由韋達定理得
，
。利用已知條件
，
把所求代數(shù)式變形，再整體代換?
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例3、已知x、y、z為實數(shù)，且
，
，求
的值?
分析：方法1?? 增量代換。取x與y的和8的平均值4為標準量，進行增量代換（也稱為均值換元法），設(shè)
，
，則
，即
?
故
；∴
∴
?
?
方法2??? 變量代換。把已知條件變形
，
可知：x、y是關(guān)于t的一元二次方程
……①的兩個根?！?sub>t=
?
∵方程①有實根 ∴ △t≥0?? 則
，
∴（以下略）?
利用代換法解題，關(guān)鍵在于根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，適當選取能夠以簡馭繁、化難為易的變換，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化。因此，要注意分析問題的結(jié)構(gòu)特征，對已知條件適當變形，同時要善于發(fā)現(xiàn)題目中的特殊結(jié)構(gòu)，挖掘題目中隱含的特殊關(guān)系，利用這些特殊條件進行代換。
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二、轉(zhuǎn)換語義實現(xiàn)化歸
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數(shù)學中，每一種數(shù)學語義（概念、關(guān)系等），一般都有一種確定的數(shù)學符號（式）表示，但不同的數(shù)學語義可能是由同一種數(shù)學符號（式）表示的。也就是說，一種數(shù)學符號（式），可作不同的語義解釋，如
表示a與b差的絕對值，又表示數(shù)軸上a，b兩點的距離。語言是思維的載體，是思維的外部表現(xiàn)形式，同一種數(shù)學語義的內(nèi)容可以用文字語言、符號語言、邏輯語言、圖形語言、表格等不同的數(shù)學語言形式表示。因此，通過語義轉(zhuǎn)換，能使一個問題轉(zhuǎn)化為另一個較簡單明了的問題。?
1、等價轉(zhuǎn)換
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將一種數(shù)學語言翻譯成另一種語言形式；或?qū)⒁环N形式意義翻譯成另一種形式意義，這種以對象“釋”對象，就是等價轉(zhuǎn)換。如點P在⊙O上
（R為⊙O半徑）；兩圓外切
（d為圓心距，R、r為兩圓半徑）；原命題等價于逆否命題。?
2、數(shù)形轉(zhuǎn)化
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數(shù)和形反映了事物的兩個方面，數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微。因此，在解決問題時，常要把同一數(shù)學對象進行代數(shù)釋意與幾何釋意，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的語義轉(zhuǎn)化。也就是說，將數(shù)（量）與（圖）形結(jié)合起來進行分析、研究，通過數(shù)的計算去找圖形之間的聯(lián)系，用“數(shù)”的知識解決“形”的問題；根據(jù)條件畫圖形或結(jié)合所給圖形去尋找數(shù)之間的聯(lián)系，用“形”的知識解決“數(shù)”的問題，這種數(shù)形結(jié)合的思想是解決數(shù)學問題的切入點。
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例4、△ABC中，AB=AC=4，BD交AC于E，
，且CE=1。求
（2001年全國初中數(shù)學聯(lián)賽）?
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分析?? 根據(jù)題意，由AB=AC，
，可構(gòu)造一個以A為圓心，AB為半徑的輔圓（如右圖，∠BDC為圓周角），直徑
，
，由相交弦定理可知，
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例5、 計算
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分析?? 方法1：將邊長為1的正方形割取一半；第二次再將余下矩形割取一半……依此分割（如圖），可以看出每次割取的部分（矩形）與余下的部分（矩形）面積相等。那么割取的各部分矩形面積之和應等于正方形的面積1減去最后一次余下的矩形面積。即
?
?
? ?????……?①?
方法2：將長為1的線段截取一半；第二次再將余下線段截取一半……依次截取（如圖），這樣每次截取的線段長與余下的線段長相等，則截取的各線段長度之和等于原線段長度1減去最后一次剩余線段的長度（計算如上式①）
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?
（本題也可以用換元法來解：設(shè)
……①?兩邊都乘以2得
……②??????? ②-①得 
）?
三、一般化與特殊化?
1、特殊化
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“特殊”問題往往比“一般”性問題顯得簡單、直觀和具體，容易解決，并且在特殊問題的解決過程中，常常孕育著一般問題的解決方法。因此，在某個數(shù)學問題難以解決時，常可先研究它的特殊情況，然后再把解決特殊問題的方法或結(jié)果應用、推廣到一般問題上而獲得解決。初中教材中有許多一般性問題是用特殊化法解決的，如圓周角定理的證明，先證明圓心在圓周角一條邊上這種特殊情況，然后把這種證明思路應用到圓心在角的內(nèi)部、外部的非特殊情況證明上，最后進行歸納，使問題得以解決。
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例5、如圖甲，正方形ABCD的對角線相交于點O，O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，兩個正方形的邊長相等，那么無論正方形A1B1C1O繞點O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的
（定值），想一想為什么？（新課標版八年級下冊教材第116頁）?
分析?? 一般情況下，兩個正方形重疊部分是一個四邊形（圖甲陰影部分），不易確定其面積的大小。不妨將繞O旋轉(zhuǎn)的正方形置于特殊位置（圖乙），此時易得重疊部分（△AOB）的面積是正方形ABCD面積的
，余下的問題就是證明在一般情形下（圖甲），重疊四邊形OEAF的面積等于△OAB面積。用割補法，證
即可。?
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2、一般化
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一般化是與特殊化相反的一個過程。有些數(shù)學問題，由于其特殊數(shù)量或位置關(guān)系，孤立地考察問題本身，造成我們只見“樹木”不見“森林”，難以解決。這時，要把問題的某些因素或結(jié)構(gòu)形式拓展到一般情況，借助一般化的結(jié)論或方法，使問題順利解決。
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例6、計算
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分析?? 數(shù)字較大，運算繁，不易發(fā)現(xiàn)隱含的一般性質(zhì)，設(shè)
，則?
原式
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運用一般化策略解決問題，要仔細觀察，分析題目的特征，從中找出能使命題一般化的因素，以便把特殊命題拓廣為包含這一特殊情況的一般問題，同時要求這一問題的解決應包含著特殊問題的解決。
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