香溪河有多寬?——數(shù)學(xué)活動(dòng)課案例
湖北省興山縣建陽坪中學(xué) 彭華英 周光云
隨著三峽大壩的建成，“高峽出平湖”的夢(mèng)想得以實(shí)現(xiàn)，環(huán)繞小鎮(zhèn)的香溪河，隨著長(zhǎng)江中上游水位的節(jié)節(jié)升高，而變得豁然開闊。從前那窄窄的河床，淺淺的溪水已經(jīng)一去不復(fù)返。如今是一江碧水，深不可測(cè)，兩岸之間也變得遙不可及。
那么現(xiàn)在的香溪河到底有多寬呢？我們抓住學(xué)生想急于知道的心理，將他們分成五組，由組長(zhǎng)組織，準(zhǔn)備好卷尺。
我們利用活動(dòng)課的時(shí)間，帶著學(xué)生來到香溪河邊，先讓同學(xué)們觀察地形，然后各組在組長(zhǎng)的帶領(lǐng)下在一起討論出測(cè)量方案，然后在一起交流，對(duì)其中的細(xì)節(jié)問題進(jìn)行糾正、優(yōu)化。同學(xué)們望著水位高漲的香溪河，興奮不異，并積極在一起討論出以下三種方案：
方案一：在對(duì)岸的一邊找一塊大的石頭A，一名學(xué)生在對(duì)岸B處面向A站好，且AB與河岸垂直，如圖1調(diào)整頭頂?shù)拿弊樱挂暰€剛好落在A上，然后轉(zhuǎn)一定的角度，視線的角度不變，望著前方，這時(shí)視線落在C點(diǎn)，用卷尺測(cè)出BC的長(zhǎng)度，由圖知，由于
，
，
所以
，則AB=CB，因此測(cè)出了BC的長(zhǎng)度，也就知道了香溪河的寬度AB。
方案二：在對(duì)岸找一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，一個(gè)同學(xué)甲站在河岸的這邊的B點(diǎn)，且使AB垂直于河岸的這一邊。另一個(gè)同學(xué)乙站在河岸這一邊的任一點(diǎn)C點(diǎn)，使
，第三個(gè)同學(xué)丙站在D點(diǎn)，丙通過乙看甲，移動(dòng)視線，直到看不見甲為止，根據(jù)光的直線傳播的原理，此時(shí)，B、C、D三點(diǎn)在同一直線上，第四個(gè)同學(xué)丁站在E點(diǎn)，通過C點(diǎn)看A，移動(dòng)直到看不到A時(shí)，A、C、E三點(diǎn)也在同一直線上，這時(shí)丙再移動(dòng)直到
為止。在三角形
和
中，
（對(duì)頂角相等），
，所以∽，則
，然后由其中一個(gè)同學(xué)用卷尺測(cè)出BC、CD和ED的長(zhǎng)，就可以計(jì)算出香溪河的寬為
。
方案三：在對(duì)岸找一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，一個(gè)同學(xué)甲站在岸的這邊的B點(diǎn)，且使AB垂直于岸的這一邊，另一個(gè)同學(xué)乙站在這一邊的任一點(diǎn)C點(diǎn)，使。第三個(gè)同學(xué)丙站在D點(diǎn)，丙通過甲看A，移動(dòng)視線，直到看不見A為止，根據(jù)光的直線傳播的原理，此時(shí)，A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，第四個(gè)同學(xué)丁站在E點(diǎn)，通過C點(diǎn)看A，移動(dòng)直到看不到A時(shí)，A、C、E三點(diǎn)也在同一直線上，這時(shí)丙再移動(dòng)直到為止。在三角形和
中，
，BC∥DE, 
（兩直線平行，同位角相等），所以∽，則
，而AD=AB+BD，則
，然后由其中一個(gè)同學(xué)用卷尺測(cè)出BC、BD和DE的長(zhǎng)，就可以計(jì)算出香溪河的寬為
。
同學(xué)們根據(jù)本組設(shè)計(jì)的方案測(cè)出了相應(yīng)的數(shù)據(jù)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下，第一組測(cè)出的BC的長(zhǎng)度為 BC=112.6m，從而得出河寬AB的長(zhǎng)為AB=BC=112.6m，第二組和第四組采用的是方案二；他們測(cè)出的BC、CD和ED的長(zhǎng)以及計(jì)算出的河寬AB的長(zhǎng)分別如下（上）表；第三組和第五組采用的是方案三，他們測(cè)出BC、BD、DE和河寬AB的長(zhǎng)分別如下（下）表:
大家通過討論后認(rèn)為第一個(gè)方案之所以和第二、三個(gè)方案測(cè)得的結(jié)果相差很大是因?yàn)榈谝环桨钢腥绾伪３謨纱蔚囊暯且粯?，在具體操作上要簡(jiǎn)單些，但要做的比較準(zhǔn)確有一定的困難，容易造成很大的誤差。而第二、三個(gè)方案相對(duì)來來說結(jié)果更準(zhǔn)確些。
在同學(xué)們興奮之余，我們又讓他們總結(jié)本次活動(dòng)的收獲：一、測(cè)出了香溪河的大約寬度；二、在這次活動(dòng)中運(yùn)用了數(shù)學(xué)知識(shí)和物理知識(shí)解決了實(shí)際問題：數(shù)學(xué)中利用了相似三角形和全等三角形、還利用了對(duì)頂角的關(guān)系和同位角的關(guān)系；物理中利用了光的直線傳播來使幾個(gè)點(diǎn)在同一直線上。
隨著三峽大壩的建成，“高峽出平湖”的夢(mèng)想得以實(shí)現(xiàn)，環(huán)繞小鎮(zhèn)的香溪河，隨著長(zhǎng)江中上游水位的節(jié)節(jié)升高，而變得豁然開闊。從前那窄窄的河床，淺淺的溪水已經(jīng)一去不復(fù)返。如今是一江碧水，深不可測(cè)，兩岸之間也變得遙不可及。
那么現(xiàn)在的香溪河到底有多寬呢？我們抓住學(xué)生想急于知道的心理，將他們分成五組，由組長(zhǎng)組織，準(zhǔn)備好卷尺。
我們利用活動(dòng)課的時(shí)間，帶著學(xué)生來到香溪河邊，先讓同學(xué)們觀察地形，然后各組在組長(zhǎng)的帶領(lǐng)下在一起討論出測(cè)量方案，然后在一起交流，對(duì)其中的細(xì)節(jié)問題進(jìn)行糾正、優(yōu)化。同學(xué)們望著水位高漲的香溪河，興奮不異，并積極在一起討論出以下三種方案：
方案一：在對(duì)岸的一邊找一塊大的石頭A，一名學(xué)生在對(duì)岸B處面向A站好，且AB與河岸垂直，如圖1調(diào)整頭頂?shù)拿弊樱挂暰€剛好落在A上，然后轉(zhuǎn)一定的角度，視線的角度不變，望著前方，這時(shí)視線落在C點(diǎn)，用卷尺測(cè)出BC的長(zhǎng)度，由圖知，由于
，，所以，則AB=CB，因此測(cè)出了BC的長(zhǎng)度，也就知道了香溪河的寬度AB。方案二：在對(duì)岸找一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，一個(gè)同學(xué)甲站在河岸的這邊的B點(diǎn)，且使AB垂直于河岸的這一邊。另一個(gè)同學(xué)乙站在河岸這一邊的任一點(diǎn)C點(diǎn)，使
，第三個(gè)同學(xué)丙站在D點(diǎn)，丙通過乙看甲，移動(dòng)視線，直到看不見甲為止，根據(jù)光的直線傳播的原理，此時(shí)，B、C、D三點(diǎn)在同一直線上，第四個(gè)同學(xué)丁站在E點(diǎn)，通過C點(diǎn)看A，移動(dòng)直到看不到A時(shí)，A、C、E三點(diǎn)也在同一直線上，這時(shí)丙再移動(dòng)直到為止。在三角形和中，（對(duì)頂角相等），，所以∽，則，然后由其中一個(gè)同學(xué)用卷尺測(cè)出BC、CD和ED的長(zhǎng)，就可以計(jì)算出香溪河的寬為。方案三：在對(duì)岸找一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，一個(gè)同學(xué)甲站在岸的這邊的B點(diǎn)，且使AB垂直于岸的這一邊，另一個(gè)同學(xué)乙站在這一邊的任一點(diǎn)C點(diǎn)，使
。第三個(gè)同學(xué)丙站在D點(diǎn)，丙通過甲看A，移動(dòng)視線，直到看不見A為止，根據(jù)光的直線傳播的原理，此時(shí)，A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，第四個(gè)同學(xué)丁站在E點(diǎn)，通過C點(diǎn)看A，移動(dòng)直到看不到A時(shí)，A、C、E三點(diǎn)也在同一直線上，這時(shí)丙再移動(dòng)直到為止。在三角形和中，，BC∥DE, （兩直線平行，同位角相等），所以∽，則，而AD=AB+BD，則，然后由其中一個(gè)同學(xué)用卷尺測(cè)出BC、BD和DE的長(zhǎng)，就可以計(jì)算出香溪河的寬為。同學(xué)們根據(jù)本組設(shè)計(jì)的方案測(cè)出了相應(yīng)的數(shù)據(jù)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下，第一組測(cè)出的BC的長(zhǎng)度為 BC=112.6m，從而得出河寬AB的長(zhǎng)為AB=BC=112.6m，第二組和第四組采用的是方案二；他們測(cè)出的BC、CD和ED的長(zhǎng)以及計(jì)算出的河寬AB的長(zhǎng)分別如下（上）表；第三組和第五組采用的是方案三，他們測(cè)出BC、BD、DE和河寬AB的長(zhǎng)分別如下（下）表:
|
組別 |
BC(m) |
CD(m) |
ED(m) |
AB(m) |
|
第二組 |
102.2 |
21.4 |
25.8 |
123.2 |
|
第四組 |
99.5 |
20.7 |
26.4 |
126.9 |
|
組別 |
BC(m) |
BD(m) |
DE(m) |
AB(m) |
|
第三組 |
47.3 |
70 |
74.6 |
121．3 |
|
第五組 |
51．4 |
44．7 |
69．6 |
126．2 |
大家通過討論后認(rèn)為第一個(gè)方案之所以和第二、三個(gè)方案測(cè)得的結(jié)果相差很大是因?yàn)榈谝环桨钢腥绾伪３謨纱蔚囊暯且粯?，在具體操作上要簡(jiǎn)單些，但要做的比較準(zhǔn)確有一定的困難，容易造成很大的誤差。而第二、三個(gè)方案相對(duì)來來說結(jié)果更準(zhǔn)確些。
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