梯形輔助線的常見作法
?
利津縣第二實驗學校 張俊海
梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有： ?
?。?）在梯形內(nèi)部平移一腰。 ?
?? 例1（如圖1）已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。求證：
B= C
?
?? 證明：過點D作DM//AB交BC于點M。 ?
??????? 因為 ?AD//BC? DM//AB?? 所以AB=DM ?
????? 因為 BA=DC? 所以 DM=DC? ?
DMC=C ?
DMC=B??? B=C ?
?
（2）梯形外平移一腰 ?
例2 （如圖2）在梯形ABCD中,AB∥DC,作□ACED延長DC交BE于F ?
求證:EF=FB ?
證明：過點B作BG∥AD,交DC的延長線于G ?
??
∴四邊形ABGD是平行四邊形??? ∴AD=BG ?
??
∵□ACED中，AD∥CE? AD=CE ?
?? ∴CE∥BG且CE=BG?? ∴∠1=∠2 ?
又∵∠3=∠4?????? ∴⊿ECF≌⊿BGF?? ∴:EF=FB ?
?
?
(3)梯形內(nèi)平移兩腰 ?
例3 （如圖3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分別為 AD、
BC的中點，且
EF⊥
BC，試說明∠
B=∠
C ?
解：過E作EM∥AB,EN∥CD,分別交BC于M,N得□ABME ,□NCDE ?
∴AE=BM? DE=CN, ?
∵AE=DE???? ∴BM=CN ?
又∵BF=CF??? ∴FM=FN????? ∵EF⊥BC? ∴EM=EN? ∴∠1=∠2 ?
∵EM∥AB,EN∥CD,? ∴∠1=∠B , ∠2=∠C ?
∴∠B=∠C ?
?
(4)延長兩腰 ?
例4（如圖4）在梯形ABCD中, ∠B=∠C ，AD∥BC。 ?
求證：梯形ABCD是等腰梯形。 ?
證明：延長BA,CD交于點E ?
∵∠B=∠C? ∴BE=CE ?
∵AD∥BC??? ∴∠EAD=∠B? ∠EDA=∠C? ?
?∵∠B=∠C???? ∴∠EAD=∠EDA ?
?? ∴AB=CD ?
結(jié)論得證 ?
?
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5）過梯形上底的兩端點向下底作高
?
例5（如圖5）在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面積。
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解：過點D、C分別作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.
?
根據(jù)等腰梯形的軸對稱性可知，AE=BF.
?
∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB
?
∴四邊形CDEF是矩形?∴DC=EF
?
∴AE=
(AB-EF)= (AB-CD)=3
?
∴ DE=
=
=4
?
∴
=(2+8)x4=20
?
?
(6)平移對角線
?
例6求證：對角線相等的梯形是等腰梯形。
?
已知：（如圖6）在梯形ABCD中，AD∥BC,對角線AC=BD
?
求證：AB=DC
?
證明：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，則四邊形ACED是平行四邊形。
?
∴AC=DE??? ∵DE=AC=DB???? ∴∠DBC=∠E??? ∠ACB=∠E
?
∴∠DBC=∠ACB
?
又∵BD=CA?? BC=CB
?
∴⊿
ABC≌⊿DCB
?
∴AB=DC
?
?
?。?span>7）連接梯形一頂點及一腰的中點。 ?
例7（如圖7）在梯形ABCD中，AD∥BC, E、F分別為AB、CD的中點， ?
?? 求證：EF=(AD+BC) ?
?? 證明：連接AF并延長交BC的延長線于點G. ?
先證⊿ADF≌⊿GCF? 得 AD=CG?? DF=FC ?
易證EF=BG= (AD+BC)
?
?
（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。 ?
例8（如圖8）在梯形ABCD中，AD∥BC, E為CD的中點， ?
????? 求證：S
= ?
????? 證明：過點E作MN∥ AB交
BC于
N，交
AD的延長線于
M ?
易證⊿NCE≌⊿MDE,從而推出S
= ?
∵□ABNM和⊿ABE中，它們同底同高， ?
∴S=2S ?
∴= S ?
?
(9)作中位線 ?
例9（如圖9））在梯形ABCD中，AB∥CD,M為AD的中點，AB+CD=BC ?
求證：BM⊥CM ?
證明：過點M作MN∥AB交BC于點N ?
?? ∵M為AD的中點，∴MN是梯形ABCD的中位線 ?
?? ∴MN=（AB+CD）?∵AB+CD=BC ?
??? ∴MN= BC
?
?? ∴⊿BCM是直角三角形?? ?
?? ∴BM⊥CM ?
當然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。
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