三角形內(nèi)角和定理證明中化歸思想的滲透
寧夏同心縣第四中學(xué) 馬 軍
所謂化歸思想,就是在面臨新問題時(shí),總企圖將它轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已經(jīng)解決了的問題或者比較熟悉的問題來解決。初中數(shù)學(xué)尤其是幾何教學(xué)中,很多問題都可以用運(yùn)化歸思想來解決。
三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等干180°.
已知:△ABC(如圖1).求證:∠A+∠B+∠C=180°.

三角形內(nèi)角和定理有多種證明方法,那么,這些證法都是怎樣想到的呢?我們下面來作一下分析,
思路一 要證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°,聯(lián)想到平角的大小是180°.因此,便設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角,為此,用輔助線構(gòu)造出一個(gè)平角,再用輔助線(平行線)"移動"內(nèi)角,將其集中起來,或用其它方法將其集中起來,這就是"拼角"的思路.
根據(jù)這個(gè)思路,可設(shè)計(jì)出多種證法,證法如下:
證法一 延長邊BC,CD是延長線,并過頂點(diǎn)C作CE∥BA(如圖2),則∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定義),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

證法二 過頂點(diǎn)C作DE∥AB(如圖3),則∠1=∠A,∠2=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).
又∵∠1+∠ACB+∠2=180°(平角的定義),
∴∠A+∠ACB+∠B=180°
證法三在BC邊上任取一點(diǎn)D,作DE∥BA,DF∥CA,分別交AC于E,交AB于F(如圖4),則有∠2=∠B,∠3=∠C(兩直線平行,同位角相等),
∠1=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),
∠4=∠A(兩直線平行,同位角相等),
∴∠1=∠A(等量代換).
又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定義),
∴∠A+∠B+∠C=180°.
證法四 作BC的延長線CD,在△ABC的外部以CA為一邊,CE為另一邊畫∠1=∠A(如圖5),于是CE∥BA(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).
∴∠B=∠2(兩直線平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
證法五 在△ABC的內(nèi)部任取一點(diǎn)D,連結(jié)AD、BD,并延長分別交邊BC、AC于點(diǎn)E、F,再連結(jié)CD(如圖6),則有∠7=∠1+∠2,∠8=∠3+∠4,∠9=∠5+∠6(三角形的任何一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).
又∵∠7+∠8+∠9=180° (平角的定義),
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°.
即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.
思路二 我們知道,平行線的同旁內(nèi)角之和為180°,那么,能否將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成平行線的一組同旁內(nèi)角呢?
根據(jù)這一思路,也可以設(shè)計(jì)出多種證法,證法如下:
證法六 過頂點(diǎn)C作CD∥BA(如圖7),則∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).
∵CD∥BA.
∴∠1+∠ACB+∠B=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)).
∴∠A+∠ACB+∠B=180°.
證法七 任作射AD交BC于D,分別過點(diǎn)B、C作BE∥DA,CF∥DA(如圖8),則有∠1=∠3,∠2=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).
∵BE∥DA,CF∥DA,
∴BE∥CF.
∴∠3+∠ABC+∠ACB+∠4=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)).
∴∠1+∠ABC+∠ACB+∠2=180°.
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.
上面兩種證明思路,都是化歸思想的體現(xiàn).這種思想是一種重要的解題策略,它可以幫助我們確定思考的方向.
所謂化歸思想,就是在面臨新問題時(shí),總企圖將它轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已經(jīng)解決了的問題或者比較熟悉的問題來解決。初中數(shù)學(xué)尤其是幾何教學(xué)中,很多問題都可以用運(yùn)化歸思想來解決。
三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等干180°.
已知:△ABC(如圖1).求證:∠A+∠B+∠C=180°.

三角形內(nèi)角和定理有多種證明方法,那么,這些證法都是怎樣想到的呢?我們下面來作一下分析,
思路一 要證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°,聯(lián)想到平角的大小是180°.因此,便設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角,為此,用輔助線構(gòu)造出一個(gè)平角,再用輔助線(平行線)"移動"內(nèi)角,將其集中起來,或用其它方法將其集中起來,這就是"拼角"的思路.
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根據(jù)這個(gè)思路,可設(shè)計(jì)出多種證法,證法如下:
證法一 延長邊BC,CD是延長線,并過頂點(diǎn)C作CE∥BA(如圖2),則∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定義),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

證法二 過頂點(diǎn)C作DE∥AB(如圖3),則∠1=∠A,∠2=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).
又∵∠1+∠ACB+∠2=180°(平角的定義),
∴∠A+∠ACB+∠B=180°
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證法三在BC邊上任取一點(diǎn)D,作DE∥BA,DF∥CA,分別交AC于E,交AB于F(如圖4),則有∠2=∠B,∠3=∠C(兩直線平行,同位角相等),
∠1=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),
∠4=∠A(兩直線平行,同位角相等),
∴∠1=∠A(等量代換).
又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定義),
∴∠A+∠B+∠C=180°.
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證法四 作BC的延長線CD,在△ABC的外部以CA為一邊,CE為另一邊畫∠1=∠A(如圖5),于是CE∥BA(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).
∴∠B=∠2(兩直線平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

證法五 在△ABC的內(nèi)部任取一點(diǎn)D,連結(jié)AD、BD,并延長分別交邊BC、AC于點(diǎn)E、F,再連結(jié)CD(如圖6),則有∠7=∠1+∠2,∠8=∠3+∠4,∠9=∠5+∠6(三角形的任何一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).
又∵∠7+∠8+∠9=180° (平角的定義),
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°.
即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.
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思路二 我們知道,平行線的同旁內(nèi)角之和為180°,那么,能否將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成平行線的一組同旁內(nèi)角呢?
根據(jù)這一思路,也可以設(shè)計(jì)出多種證法,證法如下:
證法六 過頂點(diǎn)C作CD∥BA(如圖7),則∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).
∵CD∥BA.
∴∠1+∠ACB+∠B=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)).
∴∠A+∠ACB+∠B=180°.
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證法七 任作射AD交BC于D,分別過點(diǎn)B、C作BE∥DA,CF∥DA(如圖8),則有∠1=∠3,∠2=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).
∵BE∥DA,CF∥DA,
∴BE∥CF.
∴∠3+∠ABC+∠ACB+∠4=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)).
∴∠1+∠ABC+∠ACB+∠2=180°.
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.
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