2012中考數(shù)學(xué)考點(diǎn) 三角形內(nèi)角和

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三角形內(nèi)角和定理證明中化歸思想的滲透
    
寧夏同心縣第四中學(xué) 馬 軍
    

      所謂化歸思想,就是在面臨新問題時(shí),總企圖將它轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已經(jīng)解決了的問題或者比較熟悉的問題來解決。初中數(shù)學(xué)尤其是幾何教學(xué)中,很多問題都可以用運(yùn)化歸思想來解決。
     
      三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等干180°
     
      已知:△ABC(如圖1).求證:∠A+B+C=180°.
                          
     
      三角形內(nèi)角和定理有多種證明方法,那么,這些證法都是怎樣想到的呢?我們下面來作一下分析,
     
      思路一 要證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°,聯(lián)想到平角的大小是180°.因此,便設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角,為此,用輔助線構(gòu)造出一個(gè)平角,再用輔助線(平行線)"移動"內(nèi)角,將其集中起來,或用其它方法將其集中起來,這就是"拼角"的思路.
    

    
    移動內(nèi)角(或用其它方法)把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角
    
    
     
    
 

     
    

      根據(jù)這個(gè)思路,可設(shè)計(jì)出多種證法,證法如下:
     
      證法一 延長邊BC,CD是延長線,并過頂點(diǎn)CCEBA(如圖2),則∠1=A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=B(兩直線平行,同位角相等).
     
      又∵∠1+2+ACB180° (平角的定義),
     
    ∴∠A+B+ACB180°.
     
            
     
      證法二 過頂點(diǎn)CDEAB(如圖3),則∠1=∠A,∠2=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
     
      又∵∠1+ACB+2180°(平角的定義),
     
    ∴∠A+ACB+B180°
     
    
 
     
     
     
     
     
     
    

      證法三BC邊上任取一點(diǎn)D,作DEBA,DFCA,分別交ACE,交ABF(如圖4),則有∠2=∠B,∠3C(兩直線平行,同位角相等),
     
      ∠1=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
     
      ∠4=∠A(兩直線平行,同位角相等),
     
      ∴∠1=∠A(等量代換).
     
      又∵∠1+2+3180°(平角的定義)
     
    ∴∠A+B+C180°.
    
 
     
     
     
     
     
    

      證法四 BC的延長線CD,在△ABC的外部以CA為一邊,CE為另一邊畫∠1=∠A(如圖5),于是CEBA(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).
     
      ∴∠B=∠2(兩直線平行,同位角相等).
     
      又∵∠1+2+ACB180°(平角的定義),
     
    ∴∠A+B+ACB=180°.
     
    

      證法五 在△ABC的內(nèi)部任取一點(diǎn)D,連結(jié)AD、BD,并延長分別交邊BC、AC于點(diǎn)E、F,再連結(jié)CD(如圖6),則有∠7=1+2,∠8=∠3+4,∠9=5+6(三角形的任何一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).
     
      又∵∠7+8+9=180° (平角的定義),
     
      ∴∠1+2+3+4+5+6=180°.
     
    即∠BAC+ABC+ACB=180°.
    
 
     
     
     
     
     
    

      思路二 我們知道,平行線的同旁內(nèi)角之和為180°,那么,能否將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成平行線的一組同旁內(nèi)角呢?
     
      根據(jù)這一思路,也可以設(shè)計(jì)出多種證法,證法如下:
     
      證法六 過頂點(diǎn)CCDBA(如圖7),則∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
     
      ∵CDBA.
     
      ∴∠1+ACB+B180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))
     
    ∴∠A+ACB+B180°.
    
 
     
     
     
     
     
    

      證法七 任作射ADBCD,分別過點(diǎn)B、CBEDA,CFDA(如圖8),則有∠1=∠3,∠2=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).
     
      ∵BEDA,CFDA
     
      ∴BECF.
     
      ∴∠3+ABC+ACB+4180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))
     
      ∴∠1+ABC+ACB+2180°.
     
    ∴∠BAC+ABC+ACB180°.
     
    
 
     
     
     
     
     
    

    上面兩種證明思路,都是化歸思想的體現(xiàn).這種思想是一種重要的解題策略,它可以幫助我們確定思考的方向.
    
    
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