2012中考數(shù)學(xué)考點(diǎn) 三角形內(nèi)角和

      所謂化歸思想，就是在面臨新問題時(shí)，總企圖將它轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已經(jīng)解決了的問題或者比較熟悉的問題來解決。初中數(shù)學(xué)尤其是幾何教學(xué)中，很多問題都可以用運(yùn)化歸思想來解決。
     
    　　三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等干180°．
     
    　　已知：△ABC(如圖1).求證：∠A+∠B+∠C=180°．
                          
     
    　　三角形內(nèi)角和定理有多種證明方法，那么，這些證法都是怎樣想到的呢?我們下面來作一下分析，
     
    　　思路一 要證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°，聯(lián)想到平角的大小是180°．因此，便設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角，為此，用輔助線構(gòu)造出一個(gè)平角，再用輔助線(平行線)"移動"內(nèi)角，將其集中起來，或用其它方法將其集中起來，這就是"拼角"的思路.
    

“移動內(nèi)角(或用其它方法)”把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角

     
    

    　　根據(jù)這個(gè)思路，可設(shè)計(jì)出多種證法，證法如下：
     
    　　證法一 延長邊BC，CD是延長線，并過頂點(diǎn)C作CE∥BA（如圖2），則∠1=∠A(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠2=∠B(兩直線平行，同位角相等).
     
    　　又∵∠1+∠2+∠ACB＝180° (平角的定義)，
     
    ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°.
     
            
     
    　　證法二 過頂點(diǎn)C作DE∥AB(如圖3)，則∠1＝∠A，∠2＝∠B(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．
     
    　　又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°(平角的定義)，
     
    ∴∠A+∠ACB+∠B＝180°
     
      
     
     
     
     
     
     
    

    　　證法三在BC邊上任取一點(diǎn)D，作DE∥BA，DF∥CA，分別交AC于E，交AB于F(如圖4)，則有∠2＝∠B，∠3＝∠C(兩直線平行，同位角相等)，
     
    　　∠1＝∠4(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，
     
    　　∠4＝∠A(兩直線平行，同位角相等)，
     
    　　∴∠1＝∠A(等量代換).
     
    　　又∵∠1+∠2+∠3＝180°(平角的定義)，
     
    ∴∠A+∠B+∠C＝180°.
      
     
     
     
     
     
    

    　　證法四 作BC的延長線CD，在△ABC的外部以CA為一邊，CE為另一邊畫∠1＝∠A(如圖5)，于是CE∥BA(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).
     
    　　∴∠B＝∠2(兩直線平行，同位角相等).
     
    　　又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°(平角的定義)，
     
    ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
     
    

    　　證法五 在△ABC的內(nèi)部任取一點(diǎn)D，連結(jié)AD、BD，并延長分別交邊BC、AC于點(diǎn)E、F，再連結(jié)CD(如圖6)，則有∠7=∠1+∠2，∠8＝∠3+∠4，∠9=∠5+∠6(三角形的任何一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).
     
    　　又∵∠7+∠8+∠9=180° (平角的定義)，
     
    　　∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°.
     
    即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°．
      
     
     
     
     
     
    

    　　思路二 我們知道，平行線的同旁內(nèi)角之和為180°，那么，能否將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成平行線的一組同旁內(nèi)角呢?
     
    　　根據(jù)這一思路，也可以設(shè)計(jì)出多種證法，證法如下：
     
    　　證法六 過頂點(diǎn)C作CD∥BA(如圖7)，則∠1＝∠A(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．
     
    　　∵CD∥BA.
     
    　　∴∠1+∠ACB+∠B＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．
     
    ∴∠A+∠ACB+∠B＝180°.
      
     
     
     
     
     
    

    　　證法七 任作射AD交BC于D，分別過點(diǎn)B、C作BE∥DA，CF∥DA(如圖8)，則有∠1＝∠3，∠2＝∠4(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).
     
    　　∵BE∥DA，CF∥DA，
     
    　　∴BE∥CF.
     
    　　∴∠3+∠ABC+∠ACB+∠4＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．
     
    　　∴∠1+∠ABC+∠ACB+∠2＝180°.
     
    ∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°.
     
      
     
     
     
     
     
    

    上面兩種證明思路，都是化歸思想的體現(xiàn)．這種思想是一種重要的解題策略，它可以幫助我們確定思考的方向.
    
    

中考政策

中考狀元

中考飲食

中考備考輔導(dǎo)

中考復(fù)習(xí)資料