2012中考數(shù)學(xué)考點(diǎn) 相反數(shù)和絕對(duì)值
相反數(shù)和絕對(duì)值
安徽省馬鞍山市第七中學(xué) 楊厚文
相反數(shù)和絕對(duì)值是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)概念之一,有著廣泛的應(yīng)用.不少學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)覺得不好理解,應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出問題,下面就和同學(xué)們一起學(xué)習(xí)相反數(shù)和絕對(duì)值.
【相反數(shù)和絕對(duì)值知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)】
1、 相反數(shù)的概念關(guān)鍵要理解“只有符號(hào)不同”的含義,規(guī)定零的相反數(shù)是零;
2、 互為相反數(shù)指的是一對(duì)數(shù),甲、乙兩數(shù)互為相反數(shù)包括甲是乙的相反數(shù),乙也是甲的相反數(shù);
3、相反數(shù)的幾何意義:表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)(除0外)分別在原點(diǎn)O的兩邊,并且到原點(diǎn)的距離相等。
4、多重符號(hào)化簡(jiǎn)的依據(jù)就是相反數(shù)的意義,化簡(jiǎn)的結(jié)果是由“-”號(hào)的個(gè)數(shù)來決定的,簡(jiǎn)稱:奇負(fù)偶正。
5、什么是一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值呢?從數(shù)軸上看,一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。注意,這里的距離,是以單位長度為度量單位的,是一個(gè)非負(fù)的量。
6、一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);零的絕對(duì)值是零。
7、兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小。
【用相反數(shù)和絕對(duì)值解題】
一、用相反數(shù)和絕對(duì)值的概念
例1.(重慶市2005年中考題) 5的相反數(shù)是( )
A. -5 B. 5 C. #FormatImgID_0# D. #FormatImgID_1#
解析:根據(jù)相反數(shù)的概念:只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù),易知本題選A
例2.(綿陽市2005年)絕對(duì)值為4的實(shí)數(shù)是
A. ±4 B. 4 C. -4 D. 2
解析:求絕對(duì)值等于4的數(shù)用絕對(duì)值幾何定義比較直觀,絕對(duì)值等于4的整數(shù)即在數(shù)軸上到原點(diǎn)距離等于4的整數(shù)點(diǎn)表示的數(shù),故本題選A
二、用相反數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)特征
例3.(佛山市2005年中考題) -2的絕對(duì)值是( )。
A.2 B.-2 C.±2 D.#FormatImgID_2#
解析:由絕對(duì)值的特征:一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0. 所以-2的絕對(duì)值是2
例4.(濟(jì)南市2005年中考題)若a與2 互為相反數(shù), 則|a+2|等于( )
A. 0 B. -2 C.2 D. 4
解析:由相反數(shù)的特征若a、b兩數(shù)互為相反數(shù),則a+b=0,反之也成立.可知a+2=0, 再由絕對(duì)值的特征可得本題選A
三.用相反數(shù)和絕對(duì)值解決實(shí)際問題
例5. 質(zhì)檢員抽查某種零件的長度,超過規(guī)定長度的記為正數(shù),不足規(guī)定長度的記為負(fù)數(shù).檢查結(jié)果如下:第一個(gè)為0.13毫米,第二個(gè)為-0.2毫米,第三個(gè)為-0.1毫米,第四個(gè)為0.15毫米,則長度最小的零件是第幾個(gè)?哪一個(gè)零件與規(guī)定長度的誤差最???
解析: ∵|-0.2|>|0.15|>|0.13|>|-0.1|
∴長度最小的零件是第二個(gè),與規(guī)定長度的誤差最小的是第三個(gè).
四.用相反數(shù)和絕對(duì)值中的數(shù)學(xué)思想
相反數(shù)和絕對(duì)值的應(yīng)用十分廣泛.因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí),不僅應(yīng)該深入理解概念,掌握特征,靈活運(yùn)用,還應(yīng)注意在應(yīng)用過程中學(xué)會(huì)思想方法.
1.整體代換
例6. 若|a-2|=2-a,求a的取值范圍.
解析:根據(jù)已知條件等式的結(jié)構(gòu)特征,我們把a-2看作一個(gè)整體,那么原式變形為|a-2|=-(a-2),又由絕對(duì)值概念知a-2≤0,故a的取值范圍是a≤2.
2.?dāng)?shù)形結(jié)合
例7.(全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)設(shè)x是實(shí)數(shù),y=|x-1|+|x+1|.下列四個(gè)結(jié)論:
?、?/span>y沒有最小值; ?、?/span> 只有一個(gè)x使y取到最小值;
Ⅲ 有有限多個(gè)x(不只一個(gè))使y取到最小值;
?、?/span> 有無窮多個(gè)x使y取到最小值. 其中正確的是 [ ].
A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ
解析:我們知道,|x|的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離.類似地可知,|x-a|的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)a的距離.一些有關(guān)絕對(duì)值的競(jìng)賽題,利用上述絕對(duì)值的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合,常常會(huì)得到妙解. 原問題可轉(zhuǎn)化為求x取那些值時(shí),數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和為最小.
#FormatImgID_3#
從數(shù)軸上可知,區(qū)間[-1,1]上的任一點(diǎn)x到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和均為2;區(qū)間[-1,1] 之外的點(diǎn)x 到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和均大于2.所以函數(shù)y=|x-1|+|x+1|當(dāng)-1≤x≤1時(shí),取得最小值2. 故選(D).
3.分類
例8.(2003年哈爾濱市中考題)已知|x|=3,|y|=2,且xy<0,則x+y的值等于(?。?/span>
A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1
解析:|x|=3,|y|=2,所以x=±3,y=±2,又因?yàn)?/span>xy<0,x、y異號(hào).
所以有兩種情況:(1)當(dāng)x=3,y=-2時(shí),x+y=1.
(2)當(dāng)x=-3,y=2時(shí)x+y=-1.
故選B.
練習(xí):
1.(玉林市2005年中考題)若-m=4,則m=__________.
2. 正式排球比賽,對(duì)所使用的排球的重量是有嚴(yán)格規(guī)定的。檢查5個(gè)排球的重量,超過規(guī)定重量的克數(shù)記作正數(shù),不足規(guī)定重量的克數(shù)記作負(fù)數(shù),檢查結(jié)果如下表:
指出哪個(gè)排球的質(zhì)量好一些(即重量最接近規(guī)定重量)?你怎樣用學(xué)過的絕對(duì)值知識(shí)來說明這個(gè)問題?
3. 如圖是一個(gè)正方體紙盒的側(cè)面展開圖,請(qǐng)?jiān)谄溆嗳齻€(gè)正方形內(nèi)分別填入適當(dāng)?shù)臄?shù),使得折成正方體后相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).則①②③表示的數(shù)分別為(?。?/span>
A.-1,-0.5,3 B.-0.5,-1,3 C.-0.5,3,-1 D.3,-0.5,-1
#FormatImgID_4#
4.(2004年重慶市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知:a、b、c都不等于0,且#FormatImgID_5#的最大值為m,最小值為n,則(m+n) 2004=_________.
5. (第二屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)若實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示, 則|c|-|b-a|+|b+c|等于( ).
#FormatImgID_6#
(A)-a (B)-a+2b (C)-a-2c (D)a-2b
6.(江蘇省第十七屆初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)下列說法中,正確的是( ).
(A)|-a|是正數(shù) (B)|-a|不是負(fù)數(shù) (C)-|a|是負(fù)數(shù) (D)#FormatImgID_7#不是正數(shù)
7.(2004年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題深圳賽區(qū)題)已知#FormatImgID_8#、#FormatImgID_9#都是有理數(shù),且#FormatImgID_10#,則#FormatImgID_11#是( c )
A.負(fù)數(shù); B.正數(shù); C.負(fù)數(shù)或零; D.非負(fù)數(shù).
練習(xí)題答案
1.-4
2. 第二只排球質(zhì)量好一些,利用這些數(shù)據(jù)的絕對(duì)值的大小來判斷排球的質(zhì)量,絕對(duì)值越小說明越接近規(guī)定重量,因此質(zhì)量也就好一些。
3.D 4.0 5. c 6. B 7.c
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