一、知識結(jié)構(gòu)
本小節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例人手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實(shí)例對集合的概念作了說明.然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子.
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
這一節(jié)的重點(diǎn)是集合的基本概念和表示方法，難點(diǎn)是運(yùn)用集合的三種常用表示方法正確表示一些簡單的集合.這一節(jié)的特點(diǎn)是概念多、符號多，正確理解概念和準(zhǔn)確使用符號是學(xué)好本節(jié)的關(guān)鍵.為此，在教學(xué)時(shí)可以配備一些需要辨析概念、判斷符號表示正誤的題目，以幫助提高判斷能力，加深理解集合的概念和表示方法.
1.關(guān)于牽頭圖和引言分析
章頭圖是一組跳傘隊(duì)員編成的圖案，引言給出了一個(gè)實(shí)際問題，其目的都是為了引出本章的內(nèi)容無論是分析還是解決這個(gè)實(shí)際間題，必須用到集合和邏輯的知識，也就是把它數(shù)學(xué)化.一方面提高用數(shù)學(xué)的意識，一方面說明集合和簡易邏輯知識是高中重要的基礎(chǔ).
2.關(guān)于集合的概念分析
點(diǎn)、線、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念，集合則是集合論中原始的、不加定義的概念.
初中代數(shù)中曾經(jīng)了解“正數(shù)的集合”、“不等式解的集合”;初中幾何中也知道中垂線是“到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合”等等.在開始接觸集合的概念時(shí)，主要還是通過實(shí)例，對概念有一個(gè)初步認(rèn)識.教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡稱集.”這句話，只是對集合概念的描述性說明.
我們可以舉出很多生活中的實(shí)際例子來進(jìn)一步說明這個(gè)概念，從而闡明集合概念如同其他概念一樣，不是人們憑空想象出來的，而是來自現(xiàn)實(shí)世界.
3.關(guān)于自然數(shù)集的分析
教科書中給出的常用數(shù)集的記法，是新的國家標(biāo)準(zhǔn)，與原教科書不盡相同，應(yīng)該注意.
新的國家標(biāo)準(zhǔn)定義自然數(shù)集n含元素0，這樣做一方面是為了推行國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(iso)制定的國際標(biāo)準(zhǔn)，以便早日與之接軌，另一方面，0還是十進(jìn)位數(shù){0，1，2，…，9｝中最小的數(shù)，有了0，減法運(yùn)算 仍屬于自然數(shù)，其中 .因此要注意幾下幾點(diǎn)：
(1)自然數(shù)集合與非負(fù)整數(shù)集合是相同的集合，也就是說自然數(shù)集包含0;
(2)自然數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成 或 ，其他數(shù)集{如整數(shù)集z、有理數(shù)集q、實(shí)數(shù)集r}內(nèi)排除0的集，也可類似表示 ， ， ;
(3)原教科書或根據(jù)原教科書編寫的教輔用書中出現(xiàn)的符號如 ， ， …不再適用.
4.關(guān)于集合中的元素的三個(gè)特性分析
集合中的每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素.例如“中國的直轄市”這一集合的元素是：北京、上海、天津、重慶。
集合中的元素常用小寫的拉丁字母 ，…表示.如果a是集合a的元素，就說a屬于集合a，記作 ;否則，就說a不屬于a，記作
要正確認(rèn)識集合中元素的特性：
(l)確定性： 和 ，二者必居其一.
集合中的元素必須是確定的.這就是說，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了.例如，給出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他對象都不用于這個(gè)集合.如果說“由接近 的數(shù)組成的集合”，這里“接近 的數(shù)”是沒有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)、比較模糊的概念，它不能構(gòu)成集合.
(2)互異性：若 ， ，則
集合中的元素是互異的.這就是說，集合中的元素是不能重復(fù)的，集合中相同的元素只能算是一個(gè).例如方程 有兩個(gè)重根 ，其解集只能記為{1｝，而不能記為{1，1｝.
(3)無序性：{a，b｝和{b，a｝表示同一個(gè)集合.
集合中的元素是不分順序的.集合和點(diǎn)的坐標(biāo)是不同的概念，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(l，0)和點(diǎn)(0，l)表示不同的兩個(gè)點(diǎn)，而集合{1，0｝和{0，1｝表示同一個(gè)集合.
5.要辯證理解集合和元素這兩個(gè)概念
(1)集合和元素是兩個(gè)不同的概念，符號和是表示元素和集合之間關(guān)系的，不能用來表示集合之間的關(guān)系.例如 的寫法就是錯(cuò)誤的，而 的寫法就是正確的.
(2)一些對象一旦組成了集合，那么這個(gè)集合的元素就是這些對象的全體，而非個(gè)別現(xiàn)象.例如對于集合 ，就是指所有不小于0的實(shí)數(shù)，而不是指“ 可以在不小于0的實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值”，不是指“ 是不小于0的一個(gè)實(shí)數(shù)或某些實(shí)數(shù)，”也不是指“ 是不小于0的任一實(shí)數(shù)值”……
(3)集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符合條件.
6.表示集合的方法所依據(jù)的國家標(biāo)準(zhǔn)
本小節(jié)列舉法與描述法所使用的集合的記法，依據(jù)的是新國家標(biāo)準(zhǔn)如下的規(guī)定.
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符號 |
應(yīng)用 |
意義或讀法 |
備注及示例 |
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諸元素 構(gòu)成的集 |
也可用 ，這里的i表示指標(biāo)集 |
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使命題 為真的a中諸元素之集 |
例： ，如果從前后關(guān)系來看，集a已很明確，則可使用 來表示，例如 |
此外， 有時(shí)也可寫成 或
7．集合的表示方法分析
集合有三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．它們各有優(yōu)點(diǎn)．用什么方法來表示集合，要具體問題具體分析．
（l）有的集合可以分別用三種方法表示．例如“小于 的自然數(shù)組成的集合”就可以表為：
①列舉法： ；
②描述法： ；
③圖示法：如圖1。
（2）有的集合不宜用列舉法表示．例如“由小于 的正實(shí)數(shù)組成的集合”就不宜用列舉法表示，因?yàn)椴荒軐⑦@個(gè)集合中的元素—一列舉出來，但這個(gè)集合可以這樣表示：
①描述法： ；
②圖示法：如圖2．
（3）用描述法表示集合，要特別注意這個(gè)集合中的元素是什么，它應(yīng)該符合什么條件，從而準(zhǔn)確理解集合的意義．例如：
①集合 中的元素是 ，它表示函數(shù) 中自變量 的取值范圍，即 ；
②集合 中的元素是 ，它表示函數(shù)值。的取值范圍，即 ；
③集合 中的元素是點(diǎn) ，它表示方程 的解組成的集合，或者理解為表示曲線 上的點(diǎn)組成的集合；
④集合 中的元素只有一個(gè)，就是方程 ，它是用列舉法表示的單元素集合．
實(shí)際上，這是四個(gè)完全不同的集合．
列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法．要注意，一般無限集，不宜采用列舉法，因?yàn)椴荒軐o限集中的元素—一列舉出來，而沒有列舉出來的元素往往難以確定．
8．集合的分類
含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，如圖1所示．
含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集，如圖2所示．
9．關(guān)于空集分析
不含任何元素的集合叫做空集，記作 ．空集是個(gè)特殊的集合，除了它本身的實(shí)際意義外，在研究集合、集合的運(yùn)算時(shí)，必須予以單獨(dú)考慮．
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